第7章：尾部风险

尾部风险是风险管理词汇中的一个核心概念，指的是位于概率分布外缘（即“尾部”）的极端事件的可能性。这个术语生动地描绘了这些事件的统计可能性：它们位于钟形曲线的尾部，那里观测值较少，因此既罕见又可能具有毁灭性。尾部风险这一概念之所以能吸引投资者、风险管理者与政策制定者的注意，是因为这些常被称为“黑天鹅”的尾部事件可能对金融市场、经济和投资组合产生超乎寻常的巨大影响。

尾部风险的历史根源可以追溯到概率论与统计学的早期，但直到二十世纪末和二十一世纪初动荡的市场环境中，该术语才逐渐凸显。在1987年黑色星期一和2008年金融危机等似乎违背传统风险模型与预期的市场崩盘和金融危机之后，尾部风险概念得到了广泛认可。这些事件凸显了传统风险评估工具的局限性以及忽视分布尾部的灾难性后果。在1987年10月19日的黑色星期一崩盘中，观察到的负回报偏离均值达惊人的22个标准差。如果我们假设收益服从正态分布，这种极端偏离意味着一个极其微小的发生概率，具体为1.440×10⁻¹⁰⁷。这个概率是如此之小，以至于可以认为是几乎不可能的。然而，重要的是要注意，仅仅依赖正态性假设会低估此类极端事件发生的真实概率。这突显了在金融市场中假设正态分布的局限性，并强调了需要更能捕捉市场行为动态和罕见事件发生规律的替代模型。

学术界以极大的热情研究尾部事件，力求理解和建模。他们深入数学基础，寻求精炼能够更好捕捉尾部事件可能性和影响的模型。从肥尾分布的发展到压力测试和情景分析的复杂构建，学术工作旨在提供一个框架，来预测和量化曾经被认为不可量化的事物。

与此同时，业界采取了更务实的方法，专注于针对尾部风险的对冲策略。金融机构和投资者致力于开发专门设计用于减轻这些极端事件潜在损失的产品和策略。对于那些希望防范可能在几天内侵蚀多年收益的不可预测且剧烈的市场波动的人来说，尾部风险对冲已成为投资组合管理的基石。

尽管努力去理解、预测和防范尾部风险，但金融世界仍然不断受到不可预见事件的冲击，提醒我们市场变幻莫测的本质以及持续保持警惕的必要性。

7.1 尾部风险的本质

在传统投资理论中，均值-方差分析通常用于评估投资组合。该框架依赖于平均收益和方差，假设投资者对上行和下行风险具有对称的风险偏好。然而，现实世界中投资者的偏好往往更加微妙，对下行风险有更强的厌恶，优先考虑避免损失而非追求利润。

为了更好地反映投资者的偏好，增强的投资模型提出了替代方法。这些模型利用更细致的风险度量，如下行偏差或半方差，而不是方差，从而对投资组合风险进行更全面的评估。Rockafellar和Uryasev（2000）以及Krokhmal、Palmquist和Uryasev（2001）等研究的显著贡献，针对投资者对下行风险与上行收益的不对称反应，专注于投资组合收益低于某个阈值的情况，从而更好地捕捉投资者对损失的担忧。

关于尾部风险的讨论正是从这一探讨中自然延伸出来的。尾部风险指那些罕见但极为不利的事件，它们可能对投资组合产生不成比例的影响。这些事件位于收益分布曲线的极端位置，可能引发远超传统风险度量预测的损失。在由未预测到的灾难引发的市场动荡之后，对于努力构建韧性投资组合的投资者来说，考虑尾部风险变得至关重要。

尽管已经付出了努力将下行风险（如使用下行贝塔）纳入考量，但直接处理尾部风险仍然是一项未完成的任务。尾部分析中的一个关键问题围绕着确定投资者的风险接受水平。Bali、Cakici和Chabi-Yo（2011）形式化了一个综合的风险度量，该度量取决于投资者的风险厌恶程度。

从行业视角来看，理解和应用尾部风险包含两个主要维度：度量和投资者感知。首先，在度量维度，对客观尾部风险的精确分析涉及运用统计方法和数学模型来识别和量化导致极端事件的因素。这有助于更好地理解市场风险并实施相应的风险管理措施。

其次，在投资者感知维度，我们关注投资者对尾部风险的主观感知和厌恶。这涉及跨学科研究，包括心理学和行为经济学，以理解投资者如何感知和评估尾部风险，并相应调整其投资决策。通过全面理解投资者行为和情绪反应，我们可以更准确地预测市场行为，并制定更有效的投资策略。

从量化投资的角度看，我们的目标是利用这两个维度的信息来获取阿尔法。通过准确理解和量化客观尾部风险以及投资者对尾部风险的主观感知和厌恶，我们可以基于更风险中立的视角构建投资策略。这意味着投资于投资者主观上不喜欢但未必更差的股票，以追求超额收益。

本章将详细探讨对尾部风险的现有理解、相关概念和计算方法。具体来说，第7.2节介绍风险价值和预期尾部损失的概念。在第7.3节中，我们讨论尾部风险与资产收益之间的关系，并探讨如何从尾部风险信息中衍生出因子来解释横截面收益。第7.4节聚焦于尾部风险研究的最新进展。第7.5节提供本章总结。

7.2 风险价值与预期尾部损失

最简单但也最流行的尾部风险度量是风险价值（VaR）。一个 ((1-\alpha)) 的 VaR 定义为在特定时期内，以 ((1-\alpha)) 的置信水平预期不会被超过的最大损失。换言之，损失大于 ((1-\alpha)) VaR 的概率（至多）为 (\alpha)，而损失小于 ((1-\alpha)) VaR 的概率（至少）为 (1-\alpha)。常用的 (\alpha) 选择是 1% 和 5%，分别代表 99% VaR 和 95% VaR。

构建 VaR 有不同的方法：参数法和非参数法。最简单的非参数法是所谓的历史 VaR，即给定历史样本的 (\alpha) 分位数。图 7.1 展示了这种方法下的 95% VaR 示意图。条形图代表某资产在给定年份内模拟日度收益的频率分布，假设有 252 个交易日。虚线表示 95% 置信水平下的 VaR。在此例中，VaR 约为 -1.44%，意味着有 95% 的把握认为该资产在单日内的损失不会超过其价值的 1.44%。然而，重要的是要记住，VaR 不预测超过此阈值的损失，也不考虑分布尾部的极端事件。

另一种非参数 VaR 方法是重采样法。我们可以从同样的 252 个日度收益样本中，有放回地抽取大量（比如 10,000 次）样本。那么，95% VaR 将是这 10,000 个值中最差的第 500 个值。重采样法（也称为自助法）在此更受青睐，因为它考虑了样本内的随机性。

参数 VaR 基于模型对资产收益分布的假设。假设我们假设收益服从正态分布 (N(\mu, \sigma^2))，那么 95% VaR 将是 (\mu - 1.645\sigma)，其中 -1.645 对应标准正态分布下大约第 5 个百分位数的左侧 z 分数。参数方法主要用于投资组合 VaR 的构建，因为通过适当的方差-协方差估计，投资组合 VaR 比非参数方法更容易处理。

使用 VaR 作为风险度量有一个主要缺点。在学术上，它违反了一致性风险度量的一个关键性质。一个具有随机收益 (r) 的风险资产的一致性风险度量 (\rho(r)) 需要满足以下性质：

归一化：(\rho(0)=0)，即持有零资产的风险应为零。
单调性：如果在所有情景下 (r_1 \le r_2)（(r_1) 被 (r_2) 随机占优），那么 (\rho(r_1) \ge \rho(r_2))。
正齐次性：对于常数 (a \ge 0)，要求 (\rho(ar) = a\rho(r))，即将投资扩大 (a) 倍也会导致风险扩大 (a) 倍。
平移不变性：假设现金金额为 (A)，要求 (\rho(r+A) = \rho(r) - A)，即如果将现金添加到投资中，投资的风险将减少该现金金额。
次可加性：(\rho(r_1+r_2) \le \rho(r_1) + \rho(r_2))，即两个资产构成投资组合的风险不会比两个单独风险之和更差。这个想法基于分散化原则。

VaR 满足前四个原则，但不满足次可加性原则。为了理解原因，让我们考虑一个极端的例子。假设投资 A 以 99.1% 的概率支付 100，但以 0.09% 的概率损失 100。投资 B 与投资 A 具有相同的收益结构但与 A 独立。根据 VaR 的定义，在 99% VaR 下，每项投资都没有损失。然而，由于 ((99.1%)^2 < 99%)，((A+B)) 的 99% VaR 将不为零。这个例子突出了使用 VaR 作为风险度量的问题。VaR 是一个单点值，表示可能损失的某个水平，可以通过操纵来避免突破。因此，出现了一个更精细的 VaR 度量，称为条件风险价值（CVaR）、预期缺口或预期尾部损失（ETL）。与 VaR 不同，ETL 是一个一致性风险度量（Artzner et al. 1999, Acerbi and Tasche 2002, Tasche 2002）。

在本章中，我们使用最后一个术语 ETL。它的定义为： [ ETL_\alpha(r) = E[r \mid r < VaR_\alpha(r)] \quad (7.1) ] 给定水平 (\alpha)，一项投资的 ETL 是在 ((1-\alpha)) VaR 被突破的条件下的预期尾部损失。使用图 7.1 的简单历史 VaR 示例，95% ETL 是 95% VaR 垂直虚线左侧条形的平均值。

7.3 尾部风险与资产收益

在第 4 章中，已经确定低风险异象是股票市场中一个关键的实证现象，并可以从中推导出许多因子。这引出了一个相关的问题：是否存在与低尾部风险相关的因子，表明尾部风险较低的股票会产生更高的未来收益？Atilgan等人（2020）针对这一问题进行了有力的实证分析。

在他们的研究中，使用 99% VaR 指标来量化尾部风险。按照惯例，将这些损失乘以 -1 转换为正的损失幅度。描述性统计显示，VaR 与多种因子（如特质性波动率 IVOL、MAX、贝塔和规模）之间存在显著相关性。利用 1962 年至 2014 年的数据，作者深入研究了尾部风险与股票收益之间的关系。基于单变量投资组合排序的初步发现表明，做多高 VaR 股票同时做空低 VaR 股票的策略会产生显著为负的超额收益。例如，使用市值加权，上述多空投资组合的平均月度超额收益为 -0.78%，t 统计量为 -2.34，从而强调了尾部风险与股票收益之间的负相关关系。

此外，由于尾部风险较低的股票具有较低的贝塔和 IVOL、较大的规模、较高的账面市值比、动量和协同偏度，作者将这些作为控制变量。他们发现，即使在考虑了这些因子的影响之后，尾部风险较低的股票仍然表现出更高的未来收益。为了稳健性，作者还使用 ETL 来衡量尾部风险，实证发现保持不变。

有趣的是，进一步考察 VaR 与 2 至 12 个月未来股票收益之间的关系发现，尾部风险较高的股票不仅在后续月份表现出较低的收益，而且在接下来的五个月中超额收益也显著较低。此外，如果考虑它们相对于某些基准因子定价模型的阿尔法，它们在接下来的九个月中仍然显著较低。这种持续性符合私人信息缓慢扩散的假设。具体而言，Barberis、Shleifer和Vishny（1998）、Daniel、Hirshleifer和Subrahmanyam（1998）以及Hong和Stein（1999）提出的理论表明，由于投资者对私人信息过度自信，他们逐渐更新信念，导致私人信息在市场中传播迟缓。这反过来又导致对新信息的反应不足。通过基于尾部风险及其变化的双变量投资组合排序分析，Atilgan等人（2020）发现投资者倾向于低估近期遭受重大损失的股票继续下跌的概率。这种低估导致 VaR 与后续一段时间的股票收益呈负相关，突显了市场对尾部风险的错误定价。

7.4 尾部风险的新进展

尾部风险的概念已日益被认可为资产定价理论框架和金融行业实际应用中的关键因子。尾部风险建模的推进通常有四个不同的方向。

一种方法是沿着 CAPM 等资产定价模型的思路，构建一个市场范围的度量，使得资产因对尾部风险的暴露不同而具有不同的横截面收益。尾部风险建模的第二个维度强调收益不对称性，关注资产对市场下行与上行运动的差异性敏感度。第三种策略探讨市场尾部依赖性的概念，具体考察资产收益与市场下跌相结合的条件分布。最后，条件尾部贝塔的度量代表了一种理解尾部风险的细致方法。该方法量化了资产收益对市场极端负向运动的敏感度，提供了一个评估资产在严重市场下跌期间可能表现的精确指标。

7.4.1 市场范围的尾部风险度量

构建市场范围的尾部风险度量是一项雄心勃勃的任务，因为它需要像市场风险溢价（CAPM下）、SMB和HML（FF3下）、MOM（FF3+MOM下）、LIQ（FF3+MOM+LIQ下，详见第1章）一样进入共识因子竞赛，才有资格成为通用因子。Almeida等人（2017）将尾部风险（TR）定义为风险中性化的超额 ETL： [ TR_{i,t} = E^{Q(R)} \left[ R_{i,j} - VaR_\alpha(R_{i,j}) \mid R_{i,j} \le VaR_\alpha(R_{i,j}) \right] \quad (7.2) ] 其中 (t) 是计算尾部风险的时间段，(j = 1, \ldots, J) 表示可能的状态，(\alpha) 是 VaR 的阈值，(Q(R)) 表示风险中性密度。聚合市场尾部风险度量是几个投资组合 (i) 的 (TR_{i,t}) 的简单平均。Almeida等人（2017）采用的 (J) 选择是 (t) 之前的 30 天，对应自然状态，(\alpha) 设为 10%。在形成几个投资组合 (i) 时，Almeida等人（2017）使用 Fama-French 25 个规模和账面市值比投资组合。他们进一步通过 PCA 从这 25 个中提取出五个投资组合（(i = 1, \ldots, 5)），这些投资组合解释了约 90% 的变异性。风险中性化的关键步骤涉及随机贴现核的假设，这是一个复杂的函数形式，需要预先假设风险厌恶参数。

在最近的一项研究中，Almeida等人（2022）关注短期尾部风险及其对资产价格的影响。作者提出了一种新的尾部风险度量，结合了高频股票收益与风险中性化。他们研究了该度量对股票溢价、方差风险溢价和市场收益已实现矩的预测能力。他们还考察了尾部风险对资产定价的影响及其在解释动量异象中的作用。作者发现，他们的尾部风险度量在短期内显著预测了股票溢价、方差风险溢价和市场收益的已实现矩。他们基于股票对尾部风险的暴露构建了一个多空投资组合，并表明它产生了超出标准因子模型解释范围的异常收益。通过风险中性化纳入投资者的偏好对其发现至关重要。该论文的增量贡献在于几个方面。首先，它引入了一种日度频率的新的尾部度量，允许研究短期效应。其次，它结合了风险中性化来捕捉投资者对尾部风险的经济估值，这通常使用期权价格来完成。第三，它证明了投资者感知的短期尾部风险暴露有助于解释股票之间预期收益的差异。最后，它表明尾部风险因子提高了对动量异象的解释力，暗示动量捕捉了短期尾部风险暴露。

Law、Li和Yu（2021）通过构建最小预期超额缺口（MEES）度量修改了风险中性化框架，使得每个资产对该 MEES 的贝塔暴露成为下行系统性或不可避免的尾部风险。可以证明，使用这种方法，可以跳过进一步风险中性化的需要。解决方案是对 (w_p) 的直接优化： [ w_p = \arg \min_{w_p} E \left[ \abs{ w_p' r_t - VaR_\alpha(w_p' r_t) } \mid w_p' r_t \le VaR_\alpha(w_p' r_t) \right], \quad \text{约束条件：} w_p' \mathbf{1} = 1, ; 0 \le w_p \le 1 \quad (7.3) ] 其中 (r_t = (r_1, \ldots, r_n)') 是股票 1 到 n 的收益向量，(\alpha) 是 VaR 的分位数，(\mathbf{1} = (1, \ldots, 1)') 是维度为 (n \times 1) 的全 1 向量。然而，使用这种直接优化，结果容易选择样本内超额缺口非常低的股票，导致一个类似公用事业类股票的非代表性投资组合。

为了缓解这个问题，作者继续该过程以提取更多的投资组合，确保该度量能够恰当代表股票收益的市场范围横截面变化。理想情况下，后续的投资组合 (p) 应与之前的投资组合具有零协方差（至少在样本内）。这种方法的一个缺点是寻找正确数量的正交投资组合，使得 MEES 开始趋于平坦，即随着进一步的组合提取，不再对尾部风险有更多贡献。

设期望的正交投资组合数量为 (P)，其思想是进一步对 (p = 2, \ldots, P) 求解： [ w_p = \arg \min_{w_p} E \left[ \abs{ w_p' r_t - VaR_\alpha(w_p' r_t) } \mid w_p' r_t \le VaR_\alpha(w_p' r_t) \right], \quad \text{约束条件：} w_p' \mathbf{1} = 1, ; 0 \le w_p \le 1, ; \text{以及} ] [ \operatorname{cov}(w_p' r_t, w_{p-1}' r_t) = \ldots = \operatorname{cov}(w_p' r_t, w_1' r_t) = 0 \quad (7.4) ]

上述问题可以转化为一个带有约束的方便的直接优化问题，使用样本进行估计。具体来说，它在每个月底求解第 (p) 个投资组合的权重向量 (w_p = (w_{p,1}, \ldots, w_{p,n})')：

对于 (p=1)： [ \hat{w}1 = \arg \min{w_1} \frac{1}{J} \sum_{j=1}^{J} \mathbf{1}{ { w_1' r{t-j} \le VaR_\alpha(w_1' r_t) } } \abs{ w_1' r_{t-j} - VaR_\alpha(w_1' r_t) }, \quad \text{约束条件：} w_1' \mathbf{1} = 1, ; 0 \le w_1 \le 1 \quad (7.5) ] 其中 (VaR_\alpha(w_1' r_t)) 是基于样本投资组合收益 (w_1' r_{t-j})（(j=1,\ldots,J)）的历史方法得到的 VaR（(\alpha) 分位数）。

对于 (p = 1, \ldots, P)： [ \hat{w}p = \arg \min{w_p} \frac{1}{J} \sum_{j=1}^{J} \mathbf{1}{ { w_p' r{t-j} \le VaR_\alpha(w_p' r_t) } } \abs{ w_p' r_{t-j} - VaR_\alpha(w_p' r_t) }, ] [ \text{约束条件：} w_p' \mathbf{1} = 1, ; 0 \le w_p \le 1, ; \text{以及} ] [ \frac{1}{J} \sum_{j=1}^{J} (w_p' r_{t-j} - \bar{w}p' r)(w{p-1}' r_{t-j} - \bar{w}{p-1}' r) = \ldots = \frac{1}{J} \sum{j=1}^{J} (w_p' r_{t-j} - \bar{w}p' r)(w_1' r{t-j} - \bar{w}1' r) = 0, ] [ \text{其中} \bar{w}p' r = \frac{1}{J} \sum{j=1}^{J} w_p' r{t-j} \quad (7.6) ]

则 MEES 定义为： [ MEES_t = \frac{1}{P} \sum_{p=1}^{P} \frac{1}{\alpha J} \sum_{j=1}^{J} \mathbf{1}{ { \hat{w}p' r{t-j} \le VaR\alpha(\hat{w}p' r_t) } } \abs{ \hat{w}p' r{t-j} - VaR\alpha(\hat{w}_p' r_t) } \quad (7.7) ]

7.4.2 收益不对称方法

聚焦于收益不对称的方法深入探讨了资产收益与更广泛市场收益之间共同变动的细微动态，特别是在不同市场条件下。这种视角对于理解单个资产与市场之间复杂的相互作用至关重要，尤其是在市场大幅波动时期。

这种方法中的一个关键方法论是检验不对称相关性，这一概念捕捉了资产收益与市场收益在市场上涨和市场下跌时期的不同关系。该领域的一个贡献是Ang和Chen（2002）的超额相关性，其目的是检验两个随机变量在两者都超过某个特定水平 (c) 时的相关性： [ \rho^+(c) = \operatorname{corr}(r_i, r_m \mid r_i > c, r_m > c), \quad \rho^-(c) = \operatorname{corr}(r_i, r_m \mid r_i < -c, r_m < -c) ] 零假设 (H_0) 认为上行相关性与下行相关性相同，意味着资产与市场收益之间的关系无论市场状况如何都是对称的： [ H_0: \rho^+(c) = \rho^-(c), \quad \forall c \ge 0 ] 相反，备择假设 (H_1) 认为上行与下行相关性存在差异，表明资产收益与市场之间存在非对称的共同变动。

Hong、Tu和Zhou（2007）提出了一个对 (H_0) 的无模型检验，检验统计量为： [ J_p = T (\hat{\rho}^+ - \hat{\rho}^-)' \hat{\Omega}^{-1} (\hat{\rho}^+ - \hat{\rho}^-) \quad (7.8) ] 其中 (T) 是样本量，(\hat{\rho}^+) 和 (\hat{\rho}^-) 是 (n \times 1) 的样本超额相关向量，(\hat{\Omega}) 是 (T(\hat{\rho}^+ - \hat{\rho}^-)) 的协方差矩阵的一致估计量。在对称性的零假设下，该检验统计量渐近服从 (\chi^2) 分布。

由于相关系数只度量线性依赖，为了度量更高阶矩的非对称共同变动，Jiang、Wu和Zhou（2018）建议对超额密度采用熵方法。他们还发现，与市场更高的下行非对称共同变动预示着更高的预期收益。两个随机变量在超过阈值 (c) 条件下的联合密度为： [ f^+(c; r_i, r_m) = f(r_i, r_m \mid r_i > c, r_m > c), \quad f^-(c; r_i, r_m) = f(-r_i, -r_m \mid r_i > c, r_m > c), \quad \forall c \ge 0 ] 零假设为： [ H_0: f^+(c; r_i, r_m) = f^-(c; r_i, r_m) \quad (7.9) ] 为了检验 (H_0)，提出了熵检验： [ S(c) = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \left[ f^+(c; r_i, r_m)^{1/2} - f^-(c; r_i, r_m)^{1/2} \right]^2 dr_i dr_m \quad (7.10) ] 该检验还允许多个超过阈值水平 (c_1, \ldots, c_m)。检验统计量取 (S) 在不同超过水平上的简单平均值： [ S = \frac{S(c_1) + \ldots + S(c_m)}{m} \quad (7.11) ] 对于联合密度估计，即 (f(r_i, r_m))，作者使用数据的核密度估计： [ \hat{f}(x, y) = \frac{1}{n h_1 h_2} \sum_{i=1}^{n} k\left( \frac{x_i - x}{h_1} \right) k\left( \frac{y_i - y}{h_2} \right) \quad (7.12) ] 其中 (n) 是数据样本量，(h) 是平滑参数（也称为带宽），(k(\cdot)) 是非负核函数。一个标准的核函数是标准高斯核 (k(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2})。

带宽选择是另一个重要主题。一个标准方法是Duin（1976）提出的似然交叉验证法： [ \max_{h_1, h_2} L = \sum_{i=1}^{n} \ln \hat{f}{-i}(x_i, y_i) \quad (7.13) ] 其中 (\hat{f}{-i}(x, y) = \frac{1}{n h_1 h_2} \sum_{j \neq i} k\left( \frac{x_j - x}{h_1} \right) k\left( \frac{y_j - y}{h_2} \right))，即除去第 (i) 项后的 (\hat{f}(x, y))。根据Hong和White（2005），样本估计量 (\hat{S}(c)) 服从渐近正态分布，且与带宽的选择无关。这就完成了密度之间不对称性的检验。

在另一个不对称度量中，Jiang等人（2020）提出了一种称为超额尾部概率（ETP）的新不对称度量。对于任何股票收益，如果我们通过减去均值再除以标准差对其进行标准化，则标准化后的收益（记为 (x)）将具有零均值和单位方差。ETP定义为： [ ETP = \int_{1}^{\infty} f(x) dx - \int_{-\infty}^{-1} f(x) dx \quad (7.14) ] 换句话说，ETP 是在距离均值一个标准差处评估的概率。(f(x)) 的估计可以通过相同的核密度程序以及之前建议的带宽估计来完成。作者提供的实证证据表明，使用这种新度量计算出的较大的上行不对称性意味着横截面上的平均收益较低。相比之下，当使用传统的对称性度量（如偏度）时，不对称性与收益之间的关系尚无定论。

7.4.3 尾部依赖性

在上一节中，我们讨论了单个资产收益与市场收益之间的非对称共同变动。一个自然的延伸是尾部依赖性。尾部依赖性评估不同资产在极端损失期间的关系。

Chabi-Yo、Ruenzi和Weigert（2018）通过下尾依赖（LTD）对股票的崩盘敏感性进行建模。LTD 定义为： [ LTD \equiv \lim_{q \to 0^+} P\left( r_i < F_{r_i}^{-1}(q) \mid r_m < F_{r_m}^{-1}(q) \right) \quad (7.15) ] 其中 (r_i) 和 (r_m) 分别是资产 (i) 和市场的收益，其对应的边际累积函数为 (F_{r_i}) 和 (F_{r_m})。估计框架的主要思想是使用 copula 对单个股票收益与市场收益之间的整个依赖结构进行建模，然后估计不同 copula 的参数，基于闭式解计算尾部依赖系数。由于 copula 涉及非常复杂的数学，此处不详细展开。感兴趣的读者可参考 Chabi-Yo、Ruenzi 和 Weigert（2018）了解详情。

实证上，作者发现具有较强 LTD 的股票比具有较弱 LTD 的股票具有更高的平均未来收益。具体来说，在 1963 年至 2012 年的数据范围内，由 LTD 最强的股票组成的市值加权投资组合，其月平均未来收益比由 LTD 最弱的股票组成的投资组合高出 0.36%，即年化溢价为 4.32%。此外，在股市大幅下跌之后，LTD 的风险溢价也更高。

此外，行业实践常常通过 VaR 或 ETL 推断尾部风险依赖性，从而得到所谓的 VaR 隐含尾部相关性或 ETL 隐含尾部相关性。例如，Liu（2021）应用了 Campbell、Koedijk 和 Kofman（2002）开发的模型，该模型假设资产 (i) 的收益分布形式为： [ r_i = \mu_i + \sigma_i Z_i \quad (7.16) ] 其中 (\mu_i) 和 (\sigma_i) 分别表示均值和标准差，而 (Z_i) 服从标准正态分布。从这个分布模型出发，结合 VaR 的定义，我们可以推导出资产 (i) 在置信水平 ((1-\alpha)) 下的 VaR（为简化符号，在下面的推导中省略下标 (1-\alpha)）： [ VaR_i = \mu_i + \sigma_i VaR(Z_i) \quad (7.17) ] 现在，考虑一个由两种资产组成的投资组合 (P)，权重分别为 (w_1) 和 (w_2)，投资组合收益的方差由定义可知为： [ \sigma_P^2 = w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + 2 w_1 w_2 \sigma_1 \sigma_2 \rho \quad (7.18) ] 将 VaR 定义（7.17）中的 (\sigma_i) 代入（7.18），并利用 (VaR(Z_1) = VaR(Z_2) = VaR(Z_P))，我们可以推导出两种资产之间的 VaR 隐含相关性： [ \rho_{VaR} = \frac{ (VaR_P - \mu_P)^2 - w_1^2 (VaR_1 - \mu_1)^2 - w_2^2 (VaR_2 - \mu_2)^2 }{ 2 w_1 w_2 (VaR_1 - \mu_1)(VaR_2 - \mu_2) } \quad (7.19) ] 此外，Cotter和Longin（2006）提出了一个简化公式，该公式不假设资产收益为正态，因此我们有： [ \rho_{VaR} = \frac{ (VaR_P)^2 - w_1^2 (VaR_1)^2 - w_2^2 (VaR_2)^2 }{ 2 w_1 w_2 VaR_1 VaR_2 } \quad (7.20) ] 这种方法与前一种方法的区别在于计算中是否出现均值 (\mu_i)。鉴于 (\mu_i) 的量级通常比 VaR 小一个数量级，两种方法的结果非常接近。

然而，鉴于 VaR 是一个单点且不一致，Liu（2021）提出了一种称为 ETL 隐含相关性的新度量。通过基于 ETL 的定义扩展 VaR 隐含相关性，ETL 隐含相关性如下： [ \rho_{ETL} = \frac{ (ETL_P - \mu_P)^2 - w_1^2 (ETL_1 - \mu_1)^2 - w_2^2 (ETL_2 - \mu_2)^2 }{ 2 w_1 w_2 (ETL_1 - \mu_1)(ETL_2 - \mu_2) } \quad (7.21) ] 在他的实证分析中，Liu（2021）发现 VaR 隐含相关性经常违反区间 ([-1,1])，而 ETL 隐含相关度量则稳定得多。此外，这种新度量表明，所考虑资产之间的相关性在收益率低时增加，在收益率高时减少。这表明，不适当地考虑尾部依赖性可能会低估风险，并在市场下跌期间造成巨大损失。

7.4.4 尾部贝塔

与尾部依赖模型旨在描绘资产收益整个依赖结构的全面野心不同，一种更简化的方法采用 CAPM 的原理，聚焦于系统性敏感性，通常称为尾部贝塔。本质上，这种方法涉及在条件于市场收益突破 VaR 的前提下，对单个资产收益与市场收益进行回归分析。

Van Oordt和Zhou（2016）表明，历史尾部贝塔有助于预测股票在极端市场下跌中的未来表现。他们的研究结果阐明，在市场崩盘期间，以历史上高尾部贝塔为特征的股票可能遭受的损失远超那些尾部贝塔较低的股票——通常高出 2 到 3 倍。虽然他们的研究并未最终确定直接归因于尾部贝塔的风险溢价，但有力地论证了历史尾部贝塔可作为未来系统性尾部风险的有效指标。换句话说，它们有助于预测哪些股票在未来的市场崩盘中将受到相对较大的冲击。

尽管尾部贝塔方法具有直观吸引力和相对容易实施的优点，但它并非没有局限性。其中最主要的是，由于符合 VaR 标准的观测值数量有限所带来的固有约束。例如，对于滚动 260 个日度收益观测值，在 95% VaR 假设下，只有 13 个有效观测值可用于回归。有效数据点的稀缺性需要使用扩展的滚动窗口来构建尾部贝塔。然而，这种方法引入了将过时或相关性较低的信息纳入分析的潜在缺点，从而稀释了预测的准确性。

7.5 结论

在本章中，我们深入探讨了尾部风险的概念，这一主题日益引起学术界和金融业实践者的关注。我们首先讨论了 VaR 的一个显著局限性——它不满足次可加性，而次可加性是一个度量被称为一致性的必要条件。为了解决这一不足，我们引入了一种称为 ETL 的替代度量，它弥补了 VaR 的一些缺陷，并为评估尾部风险提供了一个更稳健的框架。我们还展示了尾部风险有助于解释股票收益的横截面。

在资产定价文献中，已经发展出了各种复杂的方法来构建和解释尾部风险，包括市场范围的度量、收益不对称、尾部依赖和尾部贝塔。每种方法都提供了一个独特的视角，来理解极端市场事件对资产收益的影响。

市场范围的度量试图构建一个通用的尾部风险因子，使得具有不同横截面收益变异的单个资产，能够通过它们对该市场范围因子的不同暴露来解释。收益不对称因子表明，当下行与上行之间存在不对称时，存在更高的风险溢价。尾部依赖模型考虑了单个资产在结构上如何依赖于市场下跌。最后一种方法——尾部贝塔——可以通过在条件于市场收益低于 VaR 阈值的前提下，将资产收益对市场收益进行简单回归来得到。

金融市场中所谓的黑天鹅事件——不可预测且具有深远影响的严重事件——发生频率日益增加。这一趋势突显了尾部风险建模在驱动收益横截面差异方面日益增长的重要性。展望未来，尾部风险研究领域可能在几个方向上扩展。一个潜在的途径是开发新的市场范围尾部风险度量，以补充现有的方法。在个股层面，评估股票抵御尾部风险能力的创新方法可以提供有价值的见解，解决投资者在面对灾难性市场事件时应持有哪些股票的关键问题。此外，我们还可以将尾部风险的概念扩展到资产配置领域，例如近年来受到越来越多关注的尾部风险平价配置方法。这种方法有可能实现更有效的风险管理（例如，参见 Baitinger, Dragosch, and Topalova 2017）。

在投资中，掌握避免尾部风险的艺术，同时准确识别那些被视为有风险但可能具有韧性的股票，至关重要。这需要对市场动态、风险因子和投资者行为有细致入微的理解。实现这种平衡体现了在实践中应用尾部风险概念的精髓。

参考文献

Acerbi, C. and D. Tasche (2002). 关于预期缺口的连贯性. Journal of Banking & Finance 26(7), 1487–1503.

Almeida, C., K. Ardison, R. Garcia, and J. Vicente (2017). 非参数尾部风险、股票回报与宏观经济. Journal of Financial Econometrics 15(3), 333–376.

Almeida, C., G. Freire, R. Garcia, and R. Hizmeri (2022). 短期尾部风险与资产价格. 普林斯顿大学工作论文.

Ang, A. and J. Chen (2002). 股票投资组合的非对称相关性. Journal of Financial Economics 63(3), 443–494.

Artzner, P., F. Delbaen, J. M. Eber, and D. Heath (1999). 一致的风险度量. Mathematical Finance 9(3), 203–228.

Atilgan, Y., T. G. Bali, K. O. Demirtas, and A. D. Gunaydin (2020). 左尾动量：对坏消息的反应不足、昂贵套利与股票回报. Journal of Financial Economics 135(3), 725–753.

Baitinger E., A. Dragosch, and A. Topalova (2017). 将风险平价方法扩展到更高阶矩：是否有附加值？ Journal of Portfolio Management 43(2), 24–36.

Bali, T. G., N. Cakici, and F. Chabi-Yo (2011). 风险性的一种广义度量. Management Science 57(8), 1406–1423.

Barberis, N., A. Shleifer, and R. Vishny (1998). 投资者情绪模型. Journal of Financial Economics 49(3), 307–343.

Campbell, R., K. Koedijk, and P. Kofman (2002). 熊市中相关性的增加. Financial Analysts Journal 58(1), 87–94.

Chabi-Yo, F., S. Ruenzi, and F. Weigert (2018). 崩盘敏感性与预期股票收益的横截面. Journal of Financial and Quantitative Analysis 53(3), 1059–1100.

Cotter, J. and F. Longin (2006). 来自VaR的隐含相关性. MPRA论文第3506号, 都柏林大学学院.

Daniel, K., D. Hirshleifer, and A. Subrahmanyam (1998). 投资者心理与证券市场的过度反应和反应不足. Journal of Finance 53(6), 1839–1885.

Duin, R. P. (1976). 关于Parzen概率密度函数估计中平滑参数的选择. IEEE Transactions on Computers C-25(11), 1175–1179.

Hong, H. and J. C. Stein (1999). 资产市场中反应不足、动量交易与过度反应的统一理论. Journal of Finance 54(6), 2143–2184.

Hong, Y., J. Tu, and G. Zhou (2007). 股票回报的不对称性：统计检验与经济评估. Review of Financial Studies 20(5), 1547–1581.

Hong, Y. and H. White (2005). 序列依赖非参数熵度量的渐近分布理论. Econometrica 73(3), 837–901.

Jiang, L., K. Wu, and G. Zhou (2018). 股票共同变动的不对称性：一种熵方法. Journal of Financial and Quantitative Analysis 53(4), 1479–1507.

Jiang, L., K. Wu, G. Zhou, and Y. Zhu (2020). 股票回报不对称性：超越偏度. Journal of Financial and Quantitative Analysis 55(2), 357–386.

Krokhmal, P., J. Palmquist, and S. Uryasev (2001). 具有条件风险价值目标和约束的投资组合优化. Journal of Risk 4(2), 43–68.

Law, K. K. F., W. K. Li, and P. L. H. Yu (2021). 一种替代的非参数尾部风险度量. Quantitative Finance 21(4), 685–696.

Liu, J. (2021). 一种新的基于尾部的相关度量及其在全球股票市场中的应用. Journal of Financial Econometrics 21(3), 959–987.

Rockafellar, R. T. and S. Uryasev (2000). 条件风险价值的优化. Journal of Risk 2(3), 21–41.

Tasche, D. (2002). 预期缺口及其超越. Journal of Banking & Finance 26(7), 1519–1533.

Van Oordt, M. R. C. and C. Zhou (2016). 系统性尾部风险. Journal of Financial and Quantitative Analysis 51(2), 685–705.