第4章：市场贝塔
4.1 背景
在投资背景下，阿尔法（alpha）和贝塔（beta）是投资组合管理和业绩衡量中常用的基本概念。贝塔是衡量证券或投资组合相对于整个市场的波动性（即系统性风险）的指标。另一方面，阿尔法代表投资相对于基准指数收益或在给定资产贝塔下预期表现的超额收益。阿尔法通常被解释为投资组合经理为基金回报增加或减少的价值。换句话说，阿尔法为零表明该投资已获得与其承担的风险（贝塔）相称的回报。正阿尔法表示在风险调整基础上的超额表现，而负阿尔法表示表现不佳。
在第1章中，我们讨论了资本资产定价模型（CAPM），该模型认为资产收益的横截面变化仅取决于其对市场因子的系统性暴露（由贝塔衡量）。估计贝塔的一种直接方法是使用历史数据将资产超额收益对市场超额收益进行回归。
然而，估计贝塔本身就具有挑战性。首先，贝塔自然随时间变化，由于金融市场固有的不确定性，人们很难事先准确预测这些变化（这一点将在第10章关于不确定性的内容中进一步阐述）。因此，可能永远无法真正获得实时的精确贝塔估计值。相反，只能尝试为手头的问题找到可行的估计方法。表4.1总结了这些挑战。
（表4.1 估计贝塔的挑战）
| 挑战 | 描述 |
|---|---|
| 历史数据依赖性（非平稳性） | 贝塔计算依赖历史价格数据，但由于金融市场不断变化的性质，这些数据可能无法预示未来趋势。 |
| 时间框架选择 | 计算贝塔的时间框架会显著影响其值，较短的时间框架可能无法完全捕捉市场反应，而较长的时间框架可能包含过时数据。 |
| 市场基准相关性 | 准确的贝塔取决于使用相关的市场指数作为基准。不合适的指数可能导致误导性的贝塔估计。 |
| 结构性变化 | 公司内部的变化（如合并、收购或战略转变）可能改变其风险状况，从而改变其贝塔。 |
| 统计噪声 | 使用OLS回归等统计方法估计贝塔可能被数据中的异常值和噪声扭曲。 |
| 杠杆效应 | 公司的债务水平会影响其贝塔，因为财务杠杆的变化会影响公司的风险状况。 |
| 流动性 | 与证券流动性相关的交易频率和买卖价差会使贝塔估计复杂化。 |
| 制度转换 | 经济条件的变化（例如从牛市转向熊市或反之）会影响历史贝塔估计的相关性。 |
| 全球化与一体化 | 国际事件可能影响本地市场，使得选择适当的基准和正确解释贝塔更加复杂。 |
本章深入探讨了各种贝塔估计方法及其各自的应用。具体来说，第4.2节介绍工具变量的概念。第4.3节和第4.4节分别深入探讨条件贝塔和动态条件贝塔。第4.5节从连续性和不连续性的角度剖析和解释贝塔。第4.6节介绍了与贝塔相关的两个最重要的因子，即抗贝塔（BAB）和抗相关性（BAC）因子。最后，第4.7节总结了本章的关键要点。
4.2 工具变量
贝塔的概念从根本上代表了回归模型中参数的估计值。在测量贝塔时，一种标准方法是将因变量 (y) 对自变量（或回归量）(x) 进行回归。回归的目标是估计以下形式的条件期望函数（假设无截距）： [ E[y|x] = \beta' x \quad (4.1) ]
在最简单的一个回归量情况下，(x) 和 (\beta) 都是标量，我们有： [ y = \beta x + u \quad (4.2) ] 其中 (u) 是误差项。普通最小二乘法（OLS）旨在找到 (\beta)，使得对于样本 (y_t, x_t)（(t=1,\ldots,T)），误差平方和（(u_t^2)）最小。(\beta) 的OLS估计量为： [ \hat{\beta} = \frac{\text{cov}(y, x)}{\text{var}(x)} \quad (4.3) ]
在回归模型(4.2)中，一个关键假设是误差项 (u) 与 (x) 无关，从而 (\hat{\beta}) 纯粹反映 (x) 变化对 (y) 的影响。在数学上： [ \frac{dy}{dx} = \beta + \frac{du}{dx} \quad (4.4) ]
第二项 (du/dx) 被假定为零，因为 (u) 不是 (x) 的函数。然而，如果 (u) 与 (x) 相关，第二项将不再为零，因此 (\hat{\beta}) 将包含 (du/dx) 的影响，不再是 (\beta) 的一致估计量。一致估计量意味着随着样本量无限增加，估计值序列（在我们的例子中是 (\hat{\beta})）将以概率1收敛到真实参数（(\beta)）。不一致的估计量无法使用，因为即使花费精力收集无限多个样本，也无法得到真实参数。
为了解决不一致性问题，工具变量（IV）方法寻求识别一个工具变量 (z)，该变量理想情况下与 (x) 强相关，同时与误差项 (u) 不相关。在这种方法下，(y) 相对于工具变量 (z) 的贝塔为： [ \beta_{IV} = \frac{dy/dz}{dx/dz} \quad (4.5) ]
将 (y) 对 (z) 回归得到斜率估计 ((z'z)^{-1}z'y)（分子）。类似地，将 (x) 对 (z) 回归得到斜率估计 ((z'z)^{-1}z'x)（分母）。前者除以后者，得到IV估计量 (\hat{\beta}{IV})： [ \hat{\beta}{IV} = \frac{(z'z)^{-1}z'y}{(z'z)^{-1}z'x} = (z'x)^{-1}z'y \quad (4.6) ] 这是 (\beta) 的一致估计量。
4.3 条件贝塔
Grant（1977）、Jagannathan和Wang（1996）、Lewellen和Nagel（2006）以及Boguth等人（2011）的研究表明，如果贝塔随市场风险溢价或市场波动性系统性变化，那么无条件阿尔法是对真实阿尔法的有偏估计。Cederburg和O'Doherty（2016）发现，按历史公司贝塔排序的投资组合的贝塔随时间变化很大，主要原因是公司贝塔的横截面变化。Lewellen和Nagel（2006）以及Boguth等人（2011）表明，如果条件CAPM成立，特定资产的无条件阿尔法可以近似为： [ \alpha_U^i \approx -\text{cov}\left(\beta_{i,t}, E_{t-1}[R_{m,t}]\right) - \frac{E[R_{m,t}]}{\sigma_m^2} \text{cov}\left(\beta_{i,t}, \sigma_{m,t}^2\right) \quad (4.7) ] 其中 (\beta_{i,t}) 是资产的条件贝塔，(E[R_{m,t}]) 和 (E_{t-1}[R_{m,t}]) 分别是无条件与条件市场预期超额收益，(\sigma_m^2) 和 (\sigma_{m,t}^2) 分别是无条件与条件市场波动性。从方程(4.7)可知，当条件贝塔与预期市场超额收益负相关和/或与市场波动性正相关时，会产生无条件阿尔法的负偏倚。根据Boguth等人（2011），后一种效应可能特别大，导致无条件阿尔法产生显著偏倚。
条件CAPM意味着： [ \alpha_{i,t} \equiv E[R_{i,t}|I_{t-1}] - \beta_{i,t} E[R_{m,t}|I_{t-1}] = 0 \quad (4.8) ] 其中 (R_{i,t}) 是资产 (i) 在时期 (t) 的超额收益，(R_{m,t}) 是市场超额收益，(I_{t-1}) 是时期 (t-1) 末的投资者信息集。Shanken（1990）、Ferson和Schadt（1996）以及Ferson和Harvey（1999）将贝塔建模为工具变量（如总股息收益率和违约利差）的线性函数。Boguth等人（2011）通过纳入已实现贝塔的滞后项作为额外的工具变量，进一步发展了文献： [ R_{i,\tau} = \alpha_{IV}^i + \left(\gamma_{i,0} + \gamma_{i,1}' Z_{i,\tau-1}\right) R_{m,\tau} + u_{i,t} \quad (4.9) ] 其中 (\tau) 索引季度，(R_{i,\tau}) 是季度超额收益，(R_{m,\tau}) 是季度市场超额收益，(Z_{i,\tau-1} \in I_{\tau-1}) 是工具变量向量，这意味着 (\beta_{i,\tau}^{IV} \equiv \gamma_{i,0} + \gamma_{i,1}' Z_{i,\tau-1})。
应该选择哪些工具变量（(Z_{i,\tau-1})）？Boguth等人（2011）表明，来自先前估计窗口的滞后贝塔通常是贝塔的良好预测指标。方程(4.9)可以通过回归估计： [ R_{i,\tau} = \alpha_{IV}^i + \gamma_{i,0} R_{m,\tau} + \gamma_{i,1}' Z_{i,\tau-1} R_{m,\tau} + u_{i,t} \quad (4.10) ]
Boguth等人（2011）还提出了一种两步IV方法，可以生成关于条件变量与贝塔之间关系的更直接证据。将每个季度索引为 (\tau)，可以对每个 (\tau) 估计以下回归（使用季度的日度收益）： [ r_{i,j} = \alpha_i + \beta_{i,0} r_{m,j} + \beta_{i,1} r_{m,j-1} + \beta_{i,2} \left(\frac{r_{m,j-2} + r_{m,j-3} + r_{m,j-4}}{3}\right) + \varepsilon_{i,j} \quad (4.11) ] 其中 (r_{i,j}) 是给定资产 (i) 在第 (j) 天的超额收益，(r_{m,j}) 是季度 (\tau) 第 (j) 天的市场超额收益。季度 (\tau) 的贝塔估计值为： [ \hat{\beta}{i,\tau} \equiv \hat{\beta}{i,0} + \hat{\beta}{i,1} + \hat{\beta}{i,2} \quad (4.12) ]
在两阶段IV估计的第一阶段，估计的季度贝塔对一组滞后工具变量进行回归： [ \hat{\beta}{i,\tau} = \eta{i,0} + \eta_{i,1}' Z_{i,\tau-1} + e_{i,\tau} \quad (4.13) ]
拟合的贝塔 (\tilde{\beta}{i,\tau} = \eta{i,0} + \eta_{i,1}' Z_{i,\tau-1}) 随后在第二阶段使用： [ R_{i,\tau} = \alpha_{IV}^2 + \left(\delta_{i,0} + \delta_{i,1} \tilde{\beta}{i,\tau}\right) R{m,\tau} + v_{i,t} \quad (4.14) ]
两阶段方法是一个受限版本，其中 (\beta_{i,\tau}^{IV2} \equiv \delta_{i,0} + \delta_{i,1} \tilde{\beta}{i,\tau}) 被约束为拟合的第一阶段贝塔的线性函数。方程(4.14)可以通过回归估计： [ R{i,\tau} = \alpha_{IV}^2 + \delta_{i,0} R_{m,\tau} + \delta_{i,1} \tilde{\beta}{i,\tau} R{m,\tau} + v_{i,t} \quad (4.15) ]
条件贝塔，无论是使用一阶段 (\beta_{i,\tau}^{IV} \equiv \gamma_{i,0} + \gamma_{i,1}' Z_{i,\tau-1}) 还是两阶段 (\beta_{i,\tau}^{IV2} \equiv \delta_{i,0} + \delta_{i,1} \tilde{\beta}{i,\tau})，都需要指定工具变量 (Z{i,\tau-1})，这取决于见解和经验。方程(4.10)（一阶段）或方程(4.15)（两阶段）回归中的 (R^2) 反映了给定工具集描述贝塔动态的能力。此外，在两阶段方法的第一阶段将贝塔估计值对工具变量回归（方程(4.13)）应产生比一阶段方法（其系数来自基于收益的回归，方程(4.10)）更准确的条件贝塔系数（(\eta_{i,1})）估计值。
4.4 动态条件贝塔
上一节讨论的条件贝塔在很大程度上依赖于工具变量，而这些变量可能难以找到或不存在。为了避免指定经济变量，同时也不做出不切实际的假设（如滚动样本或状态空间公式），Engle（2016）提出了动态条件贝塔，该模型建立在他早期关于动态条件相关性（Engle 2002）的工作基础上。
假设我们有一个 (k+1) 维的向量 (z_t)：(z_t = (y_t, x_t')')，(t=1,\ldots,T)，其中 (x_t = (x_{1,t}, \ldots, x_{k,t})') 是 (k) 维的解释变量。问题是在给定 (x) 的情况下找到 (y) 的条件分布。记 (H_{zz,t}) 为 (z_t) 的协方差矩阵，它可以表示为以下分块矩阵： [ H_{zz,t} = \begin{pmatrix} H_{yy,t} & H_{yx,t} \ H_{xy,t} & H_{xx,t} \end{pmatrix} \quad (4.16) ]
OLS告诉我们： [ \beta_t = H_{xx,t}^{-1} H_{xy,t} \quad (4.17) ]
方程(4.17)中的贝塔称为动态条件贝塔（DCB）。如果我们能从样本 (t=1,\ldots,T) 估计出 (H_{zz,t})，那么 (H_{xy,t}) 和 (H_{xx,t}) 自然会得到。Engle（2002）提出了一种估计动态条件协方差的方法。在深入细节之前，有必要先回顾一下单变量波动率建模。最早和最常用的模型是Engle（1982）提出的条件异方差自回归模型（ARCH）和Bollerslev（1986）提出的广义条件异方差自回归模型（GARCH）。
DCB是传统贝塔概念的扩展，传统贝塔衡量资产收益对基准（通常是整体市场）收益的敏感性。虽然传统贝塔被认为是静态的，但DCB允许资产对市场的风险暴露随时间变化，这是由于市场条件的变化、公司的财务政策、宏观经济因素或其他变量所致。
DCB背后的思想源于认识到金融市场是复杂的，资产与其基准之间的关系不一定是稳定的。这些贝塔使用考虑风险暴露随时间变化的模型进行估计。
在DCB模型中，考虑了若干特征。该模型考虑了市场波动性波动的时期，这可能影响资产收益对市场波动的敏感性。它还包括公司杠杆对其贝塔的影响，认识到财务风险影响整体风险暴露。此外，动态模型可以识别贝塔可能显著变化的制度转换，例如在市场危机期间与更稳定时期相比。它们还可以整合可能影响资产市场风险状况的宏观经济变量。
为了估计DCB，经常使用卡尔曼滤波等计量经济学技术，允许随着新信息的出现更新贝塔。这种方法很复杂，需要大量数据来准确反映贝塔的动态。
对于必须适应不断变化的市场条件的投资者和风险管理者来说，DCB提供了一种更精细、更适应性强的风险评估和投资决策工具。这种方法超越了静态风险度量的局限性，提供了一个理解和控制市场风险的动态框架。
罗伯特·恩格尔
罗伯特·恩格尔是诺贝尔奖得主，美国经济学家，纽约大学斯特恩商学院教授。他以时变波动性的研究、条件异方差自回归模型（ARCH）及其扩展（称为GARCH）而闻名。ARCH的影响深远。其扩展GARCH仍然是学术界和业界对资产收益时变波动性建模的标准。
除了ARCH和GARCH，恩格尔还对系统性风险和金融危机的研究做出了重要贡献。他发展了条件风险价值（CVaR）的概念，纠正了VaR作为风险度量不满足次可加性的不足（更多内容见第7章）。
恩格尔获得了经济学和金融学领域的无数奖项，包括2003年与克莱夫·格兰杰因时间序列计量经济学共同获得的诺贝尔经济学奖。他是计量经济学会和美国艺术与科学院的院士。
4.4.1 ARCH和GARCH回顾
考虑一个单变量随机变量 (a_t)，一个ARCH((m))模型的形式为： [ a_t = \sigma_t \varepsilon_t, \quad \sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 a_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_m a_{t-m}^2, \quad \alpha_0 > 0, \alpha_1 \ge 0, \ldots, \alpha_m \ge 0 \quad (4.18) ]
目标是估计参数 (\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_m)。(\varepsilon_t) 称为新息，其基于信息集 (\mathcal{F}{t-1}) 的条件分布需要指定。对 (\varepsilon_t | \mathcal{F}{t-1}) 的常见假设是标准正态分布，密度函数为： [ f(\varepsilon_t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{\varepsilon_t^2}{2}\right) \quad (4.19) ] 或学生t分布，密度为： [ f(\varepsilon_t) = \frac{\Gamma\left(\frac{v+1}{2}\right)}{\sqrt{v\pi} \Gamma\left(\frac{v}{2}\right)} \left(1 + \frac{\varepsilon_t^2}{v}\right)^{-\frac{v+1}{2}} \quad (4.20) ] 其中 (v) 是自由度，(\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt) 是伽马函数。
方程(4.20)的参数可以通过最大似然估计（MLE）来估计。在MLE中，我们旨在找到一组参数，使得观测到特定样本集 ({a_1, \ldots, a_T}) 的概率（似然）最大化。根据 (\varepsilon_t | \mathcal{F}{t-1}) 的分布假设，似然函数（以及由此产生的参数）将不同。例如，如果我们假设 (\varepsilon_t | \mathcal{F}{t-1} \sim N(0,1))，那么 (a_t | \mathcal{F}_{t-1} \sim N(0, \sigma_t^2))，密度为： [ f(a_t) = \frac{1}{\sigma_t \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{a_t^2}{2\sigma_t^2}\right) \quad (4.21) ]
观测到 (\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_m) 的联合似然 (L) 是密度 (f(a_t)) 的乘积： [ L = \prod_{t=1}^T \frac{1}{\sigma_t \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{a_t^2}{2\sigma_t^2}\right) \quad (4.22) ]
在MLE中，我们通常对似然函数应用对数变换，因为优化会变得更容易。由于对数是一个单调递增变换，它将保留相同的优化解，因此优化结果不会受到影响。对数似然函数 (\mathcal{L}) 为： [ \mathcal{L} = -\sum_{t=1}^T \left{ \ln(\sigma_t) + \frac{a_t^2}{2\sigma_t^2} \right} \quad (4.23) ] 注意，我们排除了常数 (\sqrt{2\pi})，因为它不会影响优化。最大化方程(4.23)等价于通过选择 (\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_m) 来最小化 (\sum_{t=1}^T \left{ \ln(\sigma_t) + \frac{a_t^2}{2\sigma_t^2} \right})，其中 (\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 a_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_m a_{t-m}^2)。我们不会详细推导假定 (\varepsilon_t | \mathcal{F}_{t-1}) 服从学生t分布时的MLE公式，因为推导过程类似。
ARCH的主要问题是波动率持续性行为只能持续到滞后阶数（见方程(4.18)），即任何长于 (m) 的冲击对 (\sigma_t^2) 没有影响。在现实世界中，波动性似乎持续很长时间，ARCH需要较大的 (m) 才能正确反映经验收益的行为。这导致了GARCH模型的产生，该模型通过添加一个额外的持续性项（即波动性的滞后项）作为对ARCH的修正。一个GARCH((m, s))模型的一般形式为： [ a_t = \sigma_t \varepsilon_t, \quad \sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^m \alpha_i a_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^s \beta_j \sigma_{t-j}^2, \quad \alpha_0 > 0, \alpha_i \ge 0, \beta_j \ge 0, \sum_{i=1}^{\max(m,s)} (\alpha_i + \beta_i) < 1 \quad (4.24) ]
从方程(4.24)可以看出，比 (m) 滞后更早的冲击已经通过 (\sigma_t^2) 的递归性质反映出来，因此可以使用较短的滞后 (m) 和 (s) 来充分拟合经验收益的行为。在金融实践中，GARCH(1,1)模型通常就足够了。与ARCH类似，在GARCH下也可以假设 (\varepsilon_t | \mathcal{F}_{t-1}) 服从正态分布或学生t分布。MLE过程也类似，只需调整目标函数中 (\sigma_t^2) 的设定。
4.4.2 动态条件协方差（DCC）
在回顾了单变量情况下的ARCH和GARCH之后，我们现在可以将该框架扩展到多变量设置。考虑一个 (k) 维随机向量 (\alpha_t)，具有协方差矩阵 (\Sigma_t)。其相关矩阵由下式给出： [ R_t = D_t^{-1} \Sigma_t D_t^{-1} \quad (4.25) ] 其中 [ D_t = \text{diag}\left{ \sqrt{\sigma_{11,t}}, \ldots, \sqrt{\sigma_{kk,t}} \right} \quad (4.26) ] 这里 (\sigma_{jj,t}) 是资产 (j=1,\ldots,k) 的边缘（单变量）方差，可以使用GARCH(1,1)等单变量模型单独拟合。
DCC模型利用了相关矩阵比协方差矩阵更容易处理的事实，因为相关性被限制在-1.0和1.0之间。它将协方差建模分为两个步骤：第一步是获得波动率序列，第二步是对相关矩阵 (R_t) 的动态依赖性进行建模。
记 (\varepsilon_t = (\varepsilon_{1t}, \ldots, \varepsilon_{kt})') 为边际标准化新息向量，即 (\varepsilon_{it} = a_{it} / \sqrt{\sigma_{ii,t}})。(a_t) 的相关矩阵 (R_t) 也是 (\varepsilon_t) 的协方差矩阵。Engle（2002）定义了一个 (Q_t) 过程，它类似于一般的GARCH形式： [ Q_t = (1 - \theta_1 - \theta_2) \bar{Q} + \theta_1 Q_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-1} \varepsilon_{t-1}' \quad (4.27) ] 其中 (\bar{Q}) 是 (\varepsilon_t) 的无条件协方差矩阵，可以使用样本 (\varepsilon_t)（(t=1,\ldots,T)）进行估计；(\theta_i) 是非负实数，满足 (0 < \theta_1 + \theta_2 < 1)。目的是找到 (\gamma = [\theta_1, \theta_2])。由于 (\varepsilon_t) 不限于-1.0和1.0之间，(Q_t) 也不能是相关矩阵，因为它也没有界限。因此，为了获得动态相关矩阵，(Q_t) 需要通过其对角线进行归一化： [ R_t = J_t Q_t J_t \quad (4.28) ] [ J_t = \text{diag}\left{ q_{11,t}^{-1/2}, \ldots, q_{kk,t}^{-1/2} \right} \quad (4.29) ] 其中 (q_{ii,t}) 表示 (Q_t) 的第 ((i,i)) 个元素。一旦得到 (R_t)，动态协方差矩阵可以通过左乘和右乘 (R_t) 与 (D_t) 来计算： [ \Sigma_t = D_t R_t D_t \quad (4.30) ]
为了将整个思想具体化，我们演示一下假设 (\varepsilon_t | \mathcal{F}{t-1}) 服从多元学生t分布时估计DCC的最大似然方法。自由度为 (v) 的 (\varepsilon_t | \mathcal{F}{t-1}) 的学生t密度函数为： [ f(\varepsilon_t | v, \mathcal{F}_{t-1}) = \frac{\Gamma\left(\frac{v+k}{2}\right)}{(v\pi)^{k/2} \Gamma\left(\frac{v}{2}\right)} \left(1 + \frac{\varepsilon_t' \varepsilon_t}{v}\right)^{-\frac{v+k}{2}} \quad (4.31) ]
由于 (a_t = \Sigma_t^{1/2} \varepsilon_t)（单变量情况 (a_t = \sigma_t \varepsilon_t) 的多元类比），我们得到 (a_t) 的密度为： [ f(a_t | v, \Sigma_t) = \frac{\Gamma\left(\frac{v+k}{2}\right)}{(v\pi)^{k/2} \Gamma\left(\frac{v}{2}\right)} \frac{1}{|\Sigma_t|^{1/2}} \left(1 + \frac{a_t' \Sigma_t^{-1} a_t}{v}\right)^{-\frac{v+k}{2}} \quad (4.32) ]
联合似然函数是各期密度的乘积，对数似然为： [ \mathcal{L} = \sum_{t=1}^T \left{ \log \Gamma\left(\frac{v+k}{2}\right) - \frac{k}{2} \log(v\pi) - \log \Gamma\left(\frac{v}{2}\right) - \frac{1}{2} \log |\Sigma_t| - \frac{v+k}{2} \log \left(1 + \frac{a_t' \Sigma_t^{-1} a_t}{v}\right) \right} \quad (4.33) ]
我们也选择估计自由度 (v)，因为其最优值是未知的，从而将用于优化的参数向量扩展为 ({\theta_1, \theta_2, v})，这些参数影响 (\Sigma_t)。以下是算法步骤概述：
- 对于给定样本 (a_1, \ldots, a_T)，其中每个 (a_t) 表示 (k) 维资产的收益，对每个 (a_{it})（(i=1,\ldots,k)）应用GARCH(1,1)模型，以获得 (a_{it})（(t=1,\ldots,T)，(i=1,\ldots,k)）。
- 计算 (\varepsilon_t = (\varepsilon_{1t}, \ldots, \varepsilon_{kt})')，其中 (\varepsilon_{it} = a_{it} / \sqrt{\sigma_{ii,t}})。
- 初始化 ({\theta_1, \theta_2, v_0})，使用方程(4.27)估计 (Q_1) 的初始版本。
- 使用方程(4.27)推导 (Q_t)，使用方程(4.28)推导 (R_t)，使用方程(4.30)推导 (\Sigma_t)，对于 (t=1,\ldots,T)。
- 通过最大化对数似然函数方程(4.33)优化参数向量 ({\theta_1, \theta_2, v})，其中使用步骤4得到的 (\Sigma_t)。
为了估计动态条件贝塔（DCB），将上述DCC方法应用于 (z_t = (y_t, x_t')')（(t=1,\ldots,T)），得到 (H_{zz,t})。从中，可以使用分块矩阵方程(4.16)轻松推导出 (H_{xy,t}) 和 (H_{xx,t})。随后，根据方程(4.17)计算DCB。
4.5 连续与不连续贝塔
到目前为止，我们一直专注于使用工具变量方法或在通用ARCH/GARCH框架下的动态条件方法来估计条件贝塔。还有其他贝塔分析。
一个突出的例子是Bollerslev、Li和Todorov（2016）的研究。该文章研究了个股价格对市场价格变动的反应，区分了连续（日内平滑共同波动）和不连续风险（日内跳跃和隔夜收益）。相应地，它定义了股票的三种日内贝塔度量：连续贝塔、不连续贝塔和隔夜贝塔。如果这些贝塔带有显著的风险溢价且彼此相关性低，那么它们将非常适合我们的因子目的。利用近1000只股票二十多年的高频数据，作者的发现揭示了不连续贝塔和隔夜贝塔的显著风险溢价，但连续日内贝塔则没有。这表明市场对与大的、突然的价格变化相关的风险的定价与对更渐进的、连续的价格变动的定价不同。这对于理解市场风险溢价以及构建考虑不同类型市场风险的投资策略具有重要意义。
4.5.1 连续贝塔
连续贝塔反映了个股价格与市场的日内平滑共同波动。与处理跳跃和突然变化的对应贝塔不同，连续贝塔捕捉交易日内发生的更规律、持续的價格变動。Bollerslev、Li和Todorov（2016）指出，与更突然的变化相比，投资者对这些类型变动的看法不同，这意味着风险感知和定价上的区别。值得注意的是，与连续贝塔相关的风险溢价并未在横截面中被定价，这表明市场对与连续日内价格变动相关的风险的奖励程度不如对跳跃和隔夜变动的奖励程度。
4.5.2 不连续贝塔
不连续贝塔关注交易活跃时段的日内价格不连续性或跳跃。这些跳跃代表股票价格的突然变化，可能对投资者的投资组合产生重大影响。不连续贝塔的估计假设个股的跳跃与市场之间存在正相关关系，旨在捕捉与这些突然变动相关的风险。不连续贝塔的框架涉及比较个股的跳跃与市场的跳跃，以了解这些突然变化带来的系统性风险。
4.5.3 隔夜贝塔
隔夜贝塔处理从一个交易日收盘到下一个交易日开盘发生的价格变化。这些变动被认为是间断的，并且可能很重要，因为它们捕捉了市场收盘期间发生的所有信息和事件。隔夜贝塔的估计类似于不连续贝塔，但侧重于隔夜跳跃收益，将其视为单独的风险类别。这种区分至关重要，因为隔夜收益的动态可能与交易日内不同，受到盘后新闻、全球市场发展和其他因素的影响，这些因素可能导致下一个交易日开盘时出现显著的价格调整。
4.6 与贝塔相关的因子
在前面的章节中，我们探讨了估计贝塔的各种方法。本节将焦点转向基于贝塔构建的因子。其中，最著名的因子是抗贝塔（BAB）和抗相关性（BAC），其中BAB引发了最多的关注和争议。理解这些因子并以开放的心态对待围绕它们的辩论，对于丰富和完善我们的因子构建方法论至关重要。
4.6.1 抗贝塔因子（BAB）
根据CAPM，贝塔较高的证券应该获得更高的回报作为补偿。然而，我们通常看到贝塔较低的证券反而具有更高的风险调整后回报，这方面的实证证据可以追溯到1970年代。
Black、Jensen和Scholes（1972）从真实市场数据中观察到，证券市场线（SML）比CAPM预测的平坦得多，表明风险与回报之间的关系不能仅由CAPM充分解释。通过使用时间序列和横截面回归的实证分析，他们证实了这一假设。特别地，他们的研究根据市场贝塔估计值将股票分组为十分位组，并进行时间序列回归分析。他们的实证发现表明，在不同的历史时期，阿尔法显著非零且与贝塔负相关。这意味着贝塔较高的股票往往具有负的阿尔法。基于这些发现，他们用一个额外的零贝塔因子扩展了CAPM，这个双因子模型也被称为Black CAPM。
在Black CAPM提出四十年后，Frazzini和Pedersen（2014）提出了抗贝塔（BAB）因子，为阿尔法与贝塔之间的负相关提供了不同的视角。此外，作者将杠杆约束确定为BAB现象背后的关键原因。通过利用国债-欧洲美元（TED）利差作为融资便利程度的代理变量，他们发现TED利差扩大（表示融资更容易）与未来BAB回报降低相关；相反，TED利差缩小（表示融资条件更紧）预测更高的BAB回报。
“TED利差”是一个金融指标，代表短期美国政府债务（通常使用三个月期国库券衡量）与银行间贷款（使用三个月期伦敦银行间同业拆借利率LIBOR衡量）之间的利率差异。缩写“TED”源自“Treasury-Eurodollar”（国库券-欧洲美元），后者指的是存放在美国境外银行的美元计价存款，这正是LIBOR的基础。国库券是短期政府证券，通常期限为三个月。由于有美国政府的完全信用支持，它们被认为几乎没有风险。欧洲美元存款（由LIBOR代表）是在美国境外商业银行存放的美元。LIBOR是全球一些主要银行相互收取短期贷款的基准利率。它代表银行愿意为这些存款支付的利率。LIBOR已被有担保隔夜融资利率（SOFR）取代。与LIBOR不同，SOFR代表了更广泛市场参与者的借贷成本，并基于隔夜贷款市场的实际交易。
TED利差衡量短期美国政府债务（被视为无风险）利率与银行体系资金利率（包含信用风险）之间的差异。TED利差扩大表明，贷款人认为银行间贷款（信用风险）相对于无风险政府债务的风险正在增加。这可能是信贷条件收紧的迹象，因为银行因感知到更高的风险而向彼此收取更高的贷款费用，因此公司可能更难获得融资。相反，TED利差缩小表明信用风险感知较低，融资条件较为宽松。这是因为银行相互收取的贷款费用与无风险贷款费用的差异较小。
在市场贝塔的背景下，当TED利差扩大（表示感知风险更高、信贷条件更紧）时，它与BAB策略的未来更高回报相关。BAB策略涉及买入低贝塔资产和卖出高贝塔资产，押注低贝塔资产在风险调整后表现会更好。如果融资条件紧张，高贝塔资产可能因其较高的风险和资本成本而表现更差，导致BAB策略表现更好。相反，当TED利差缩小（表示感知风险较低、融资条件较宽松）时，BAB策略可能产生较低的回报，因为高贝塔资产受融资成本的影响较小。
Frazzini和Pedersen（2014）还研究了不同水平的杠杆约束如何影响投资者的偏好，揭示出约束较高的投资者（如共同基金和个人投资者）往往偏好高贝塔股票，而约束较少的投资者（如对冲基金、杠杆收购公司和伯克希尔·哈撒韦）偏好低贝塔股票。将 (\phi) 定义为融资约束程度，Frazzini和Pedersen（2014）证明阿尔法与贝塔之间的关系遵循 (\alpha = \phi(1 - \beta))。
此外，Blitz、Falkenstein和van Vliet（2014）从CAPM的基本假设出发讨论了杠杆约束。CAPM对投资者没有施加杠杆限制，他们都以最大化单位风险回报（即切点组合）为目标，并可以通过借贷调整其期望收益水平。然而，在现实中，杠杆受到约束；借入资金的成本可能很高，或者条款不允许杠杆化，阻止投资者自由调整其杠杆水平。结果，寻求更高回报的投资者被迫通过追逐高贝塔股票来承担更多市场风险，导致这些股票被高估。Blitz和van Vliet（2007）认为，使用杠杆的相同约束（或对杠杆的厌恶）阻止了聪明（或成熟）投资者消除低贝塔异象。
接下来，我们回到BAB因子。设 (\hat{\beta}{it}) 为股票 (i) 在时间 (t) 的估计贝塔。为了构建因子，股票按 (\hat{\beta}{it}) 升序排列。设 (z) 为 (n \times 1) 的贝塔排名向量，则 (z_i = \text{rank}(\hat{\beta}_{it}))。另外，设 (\bar{z}) 为横截面上的平均排名。排名后的股票被分配到两个投资组合之一：低贝塔和高贝塔。低（高）贝塔组合由所有贝塔低于（高于）其中位数的股票组成。在每个投资组合中，股票按排名贝塔加权，因此高贝塔和低贝塔组合中的股票权重为： [ w^H = k (z - \bar{z})^+ , \quad w^L = k (z - \bar{z})^- \quad (4.34) ] 其中 (k) 是归一化常数，(x^+) 和 (x^-) 分别表示向量 (x) 的正元素和负元素。根据方程(4.34)，很容易看出，贝塔较低的股票在低贝塔组合中权重较大，而贝塔较高的股票在高贝塔组合中权重较大。根据构造，(\mathbf{1}_n' w^H = 1) 且 (\mathbf{1}_n' w^L = 1)，其中 (n) 是横截面上的股票数量。最后，两个投资组合都被重新调整，使其在组合形成时的贝塔为1。
然后，BAB因子被构建为一个自融资、贝塔中性的投资组合。它涉及在低贝塔组合中持有多头头寸，并卖空高贝塔组合。因此，BAB因子的超额收益为： [ r_{t+1}^{BAB} = \frac{1}{\beta_t^L} (r_{t+1}^L - r_f) - \frac{1}{\beta_t^H} (r_{t+1}^H - r_f) \quad (4.35) ] 其中 (r_{t+1}^L = r_{t+1}' w^L) 和 (r_{t+1}^H = r_{t+1}' w^H) 分别是低贝塔和高贝塔组合的收益，(\beta_t^L = \beta_t' w^L) 和 (\beta_t^H = \beta_t' w^H)。
来自多个市场的实证证据支持了Frazzini和Pedersen（2014）提出的假设。在业界，BAB已成为防御性投资策略的标志，获得了机构投资者的广泛赞誉。
客观地说，尽管BAB因子有清晰的理论框架和实证证据支持，但其构建方法——包括贝塔值的事前估计以及投资组合形成过程中应用的贝塔中性约束——与基于公司特征直接排序（如Fama-French因子）构建因子的更传统方法有显著不同。正如我们稍后将看到的，这些差异已成为批评BAB因子的焦点。
还有一点值得提一下，根据构造，BAB因子是一个市场范围内的度量，捕捉低贝塔股票相对于高贝塔股票的风险溢价，而不是可以直接用于排序和选股的公司层面特征。为了利用BAB因子进行选股，我们需要通过回归分析将其转化为单个资产度量。这涉及将每个资产超额收益对BAB因子进行回归。然后，这个暴露度可用于选股。
4.6.2 对BAB的批评
之前，我们提到了BAB因子独特的构建方法，这引发了相当多的争论。一个值得注意的批评来自Novy-Marx和Velikov（2022）在其标题挑衅的论文《抗抗贝塔》（BABAB）中，该论文在三个层面对BAB提出挑战：（1）在投资组合构建中使用排名权重；（2）通过杠杆实现贝塔中性；（3）在估计贝塔时使用不同的时间窗口计算相关系数的标准差。
Novy-Marx和Velikov（2022）指出，在BAB中使用排名作为权重几乎等同于等权重，这极大地提高了小盘股和微盘股在投资组合中的作用，这与Frazzini和Pedersen（2014）赋予极端贝塔值股票更高权重的意图相反。此外，Frazzini和Pedersen（2014）通过对低贝塔多头头寸加杠杆和对高贝塔空头头寸去杠杆来构建零贝塔（贝塔中性）对冲组合的方法也近似于等权重。结合这些因素，Novy-Marx和Velikov（2022）认为BAB因子的构建方法导致对超小盘公司的权重过大，并且对盈利能力和投资因子有高暴露。由于规模、盈利能力和投资因子已被证明在美国股票市场中有效，这显著增强了BAB因子的表现。
关于第三个批评，Novy-Marx和Velikov（2022）强调，Frazzini和Pedersen（2014）在估计贝塔时使用不同的时间窗口计算波动率和相关系数，导致了一种有偏的估计方法，无意中支持了他们提出的理论。纠正这个偏差将使该理论失效。
为了说明这一点，回顾一下对于因变量 (y) 和自变量 (x)，OLS估计的贝塔为： [ \beta = \frac{\text{cov}(y, x)}{\text{var}(x)} \quad (4.36) ]
此外，这两个变量的相关系数为： [ \rho_{xy} = \frac{\text{cov}(x, y)}{\sigma_x \sigma_y} \quad (4.37) ]
将方程(4.37)代入方程(4.36)揭示了贝塔与相关性以及相关变量标准差之间的密切关系： [ \beta = \frac{\text{cov}(y, x)}{\text{var}(x)} = \frac{\rho_{xy} \sigma_x \sigma_y}{\sigma_x^2} = \rho_{xy} \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \quad (4.38) ]
现在，我们准备解决关于Frazzini和Pedersen（2014）的第三个担忧。作者分别使用一年和五年的窗口计算波动率和相关系数。借助方程(4.38)，简单的代数运算揭示了他们的贝塔（记为 (\beta_i^{FP})）与使用传统方法计算的贝塔之间的关系： [ \beta_i^{FP} \equiv \rho_i^{(5)} \frac{\sigma_i^{(1)}}{\sigma_m^{(1)}} = \rho_i^{(5)} \frac{\sigma_i^{(5)}}{\sigma_m^{(5)}} \left( \frac{\sigma_m^{(5)} \sigma_i^{(1)}}{\sigma_m^{(1)} \sigma_i^{(5)}} \right) = \left( \frac{\sigma_i^{(1)} / \sigma_i^{(5)}}{\sigma_m^{(1)} / \sigma_m^{(5)}} \right) \beta_i^{(5)} \quad (4.39) ] 其中上标1和5分别表示一年和五年的滚动窗口，因此 (\beta_i^{(5)}) 表示使用传统方法以五年窗口历史数据计算的贝塔。方程(4.39)表明，Frazzini和Pedersen（2014）的贝塔估计值等于传统推导的贝塔乘以一个系数：资产的 (\sigma_i^{(1)} / \sigma_i^{(5)}) 与市场的 (\sigma_m^{(1)} / \sigma_m^{(5)}) 之比。Novy-Marx和Velikov（2022）实证发现，当市场本身高度波动时，资产的 (\sigma_i^{(1)} / \sigma_i^{(5)}) 与市场的 (\sigma_m^{(1)} / \sigma_m^{(5)}) 之间的弹性小于1；相反，当市场波动较小时，弹性大于1。这意味着 (\beta_i^{FP}) 在市场高波动期低于传统计算的贝塔，在市场低波动期高于传统计算的贝塔。结果，使用 (\beta_i^{FP}) 对单个资产导致市场范围的贝塔不等于1（其值随时间波动，均值略高于1），表明 (\beta_i^{FP}) 不是一个合理的估计量。
4.6.3 抗相关性因子（BAC）
另一个与BAB密切相关的因子是抗相关性（BAC）因子。回顾方程(4.38)可知，贝塔与相关性和波动性密切相关。Asness、Frazzini和Gormsen（2020）提供了一个框架来隔离贝塔表达式中的不同组成部分，并通过关注相关性部分构建了抗相关性（BAC）因子。
克里夫·阿斯内斯与AQR
克里夫·阿斯内斯是AQR资本管理公司的联合创始人，这是一家全球投资管理公司，以其对系统化和量化投资策略的重视而闻名。阿斯内斯在芝加哥大学完成了金融学博士学位，师从尤金·法玛。阿斯内斯的论文为现在所谓的“因子投资”的发展做出了贡献。
阿斯内斯一直是研究和倡导这种投资风格的领军人物，该风格旨在以系统化的方式捕捉这些风险溢价。阿斯内斯对因子投资的贡献包括学术和实践应用。
- 学术贡献：阿斯内斯的研究帮助实证验证了不同市场中各种因子的存在和持久性。他的学术工作发表在众多同行评审期刊上，为动量、价值投资等主题的知识体系做出了贡献。
- 实践应用：在AQR，阿斯内斯在将量化研究应用于实际投资方面发挥了重要作用。AQR使用基于因子的策略为机构投资者（包括养老基金、保险公司和捐赠基金）管理资产。
- 策略创新：在阿斯内斯的领导下，AQR一直处于开发利用因子投资策略的创新投资产品的前沿。这些产品包括共同基金、对冲基金和其他旨在为投资者提供目标因子暴露的工具。
- 风险与回报模型：阿斯内斯为理解如何组合因子以管理风险和改善回报做出了贡献。他的工作帮助投资者理解了因子回报随时间以及在不同市场条件下的行为。
克里夫·阿斯内斯在该领域的影响力是巨大的，因为他兼具学者和实践者的双重角色。他的公司AQR资本管理公司被认为是在实践中系统化、规模化应用因子投资原则的先驱之一，这对资产管理行业产生了相当大的影响。
BAC因子的构建与BAB因子非常相似，只是BAC需要控制波动性。因此，该过程运行一个依赖的双重投资组合排序，首先基于波动性，然后基于相关性。具体来说，对于每个时间 (t)，BAC因子按以下步骤构建：
-
根据波动性估计值对资产进行升序排序，并将其分配到五个五分位数组之一。在每个五分位数组内，然后根据资产与市场相关性的估计值进行排序，并分配到两个投资组合之一，即低相关性和高相关性投资组合。 与市场相关性低的资产在低相关性投资组合中具有更高的权重。设 (z_q) 为每个波动性五分位数组 (q=1,2,3,4,5) 内的 (n_q \times 1) 相关性排名向量，(\bar{z}q = \mathbf{1}{n_q}' z_q / n_q) 为平均排名，其中 (n_q) 是波动性五分位数组 (q) 中的资产数量，(\mathbf{1}_{n_q}) 是大小为 (n_q) 的全1向量。每个波动性五分位数组中低相关性投资组合的权重为： [ w_q^L = k_q (z_q - \bar{z}q)^- \quad (4.40) ] 其中 (k_q) 是归一化常数，等于 (2 / (\mathbf{1}{n_q}' |z_q - \bar{z}q|))，且 (x^-) 表示向量 (x) 的负元素。根据构造，(\mathbf{1}{n_q}' w_q^L = 1)。
-
类似地，与市场相关性高的资产在高相关性投资组合中具有更大的权重。每个波动性五分位数组中高相关性投资组合的权重为： [ w_q^H = k_q (z_q - \bar{z}q)^+ \quad (4.41) ] 其中 (x^+) 表示向量 (x) 的正元素。根据构造，(\mathbf{1}{n_q}' w_q^H = 1)。
-
每个波动性五分位数组中BAC的超额收益为： [ r_{t+1}^{BAC(q)} = \frac{1}{\beta_t^{L,q}} (r_{t+1}^{L,q} - r_f) - \frac{1}{\beta_t^{H,q}} (r_{t+1}^{H,q} - r_f) \quad (4.42) ] 其中 (r_{t+1}^{L,q} = r_{t+1}' w_q^L) 和 (r_{t+1}^{H,q} = r_{t+1}' w_q^H) 分别是低相关性和高相关性投资组合的收益，(\beta_t^{L,q} = \beta_t' w_q^L) 和 (\beta_t^{H,q} = \beta_t' w_q^H) 是五分位数组 (q) 中每个资产对应的贝塔。
-
最后，BAC因子的回报为： [ r_{t+1}^{BAC} = \frac{1}{5} \sum_{q=1}^{5} r_{t+1}^{BAC(q)} \quad (4.43) ]
注意，根据构造，BAC投资组合仍然是贝塔中性的。然而，它不是相关性中性的。与BAB因子类似，BAC度量再次是一个市场范围内的度量。它捕捉与BAC效应相关的风险溢价。要将其用于选股，还需要将其转化为单个资产度量，例如将资产超额收益对BAC因子进行时间序列回归，并将估计的贝塔作为选股因子。
回顾第3.4节，我们提到Bali等人（2017）认为，个人投资者对彩票型股票的追求，而不是与杠杆约束相关的理论，是低贝塔异象（特别是BAB因子）的重要促成因素。Asness、Frazzini和Gormsen（2020）的BAC论文是对这一批评的回应。直观地说，由于BAC与波动性和彩票需求相对无关，如果BAC产生显著的超额收益，它将支持杠杆约束理论。相反，如果BAC表现不佳，则将是彩票需求假说的证据。
Asness、Frazzini和Gormsen（2020）的实证发现表明，BAC因子产生显著且稳健的超额收益。为了检验杠杆约束假说，作者考察了保证金贷款余额对BAB和BAC因子的影响，发现当先前的保证金贷款较低（表示杠杆约束较高）时，两个因子的表现都显著更好，为支持杠杆约束假说提供了有力的证据。为了评估彩票偏好的影响，该研究引入了季度赌场股息变化（以GDP标准化）作为赌博偏好的代理变量。结果显示对MAX效应有显著影响，但对BAB因子没有显著影响。这些发现表明，杠杆约束假说是对BAB的合理解释，而彩票偏好假说尚无定论。
4.7 结论
在本章中，我们深入探讨了系统性风险的关键概念（由贝塔捕捉），这是理解市场动态的基础。贝塔的时间不稳定性使其估计复杂化，超出了对历史数据进行简单回归分析的范畴，挑战了传统智慧。此外，被称为贝塔异象的现象（与CAPM关于高贝塔与高回报相关的论断相矛盾）在学术界已得到充分证明。我们探讨了几种计算条件贝塔的方法，从使用预定滞后期的滚动窗口的基本技术，到更复杂的方法，如工具变量法和GARCH框架内的动态条件贝塔。此外，我们考察了描绘股票收益对市场变动敏感性的技术，将其分解为日内连续、日内不连续和隔夜成分。
除了各种估计方法，我们还深入探讨了贝塔作为因子的应用，其中BAB和BAC因子是最重要的。然而，鉴于围绕其构建方法和基本原理的争论，我们主张对这些因子采取理性和辩证的态度。尽管它们在美国股票市场和许多全球股票市场中产生了显著的超额收益，但至关重要的是不要认为它们理所当然。以开放的心态接受不同的观点并进行独立分析，可以加深我们对这些因子的理解，最终拓宽我们在因子投资研究中的视野。
贝塔仍然是一个引人注目且具有重大实践意义的核心话题，并且在可预见的未来将继续如此，有许多进一步探索的途径。一条可能的路径涉及扩展工具变量的逻辑，以识别具有稳健经济学原理的额外工具作为贝塔估计的外生变量。另一个有前途的方向是采用贝叶斯技术（如贝叶斯回归）来建模条件贝塔。此外，将贝塔视为一个需要用市场数据进行校准的随机过程，代表了另一种创新方法。这些方法共同致力于准确捕捉证券对市场波动的瞬时反应，强调了在金融建模和风险管理中进行精确和动态贝塔估计的必要性。
参考文献
Asness, C., A. Frazzini, and N. J. Gormsen (2020). 抗相关性：检验低风险效应的理论. Journal of Financial Economics 135(3), 629–652.
Bali, T. G., S. J. Brown, S. Murray and Y. Tang (2017). 基于彩票需求的贝塔异象解释. Journal of Financial and Quantitative Analysis 52(6), 2369–2397.
Black, F., M. C. Jensen, and M. Scholes (1972). 资本资产定价模型：一些实证检验. 载于 Studies in the Theory of Capital Markets, M. C. Jensen (编辑), 纽约: Praeger, 79–121.
Blitz, D., E. Falkenstein, and P. van Vliet (2014). 波动性效应的解释：基于CAPM假设的概述. Journal of Portfolio Management 40(3), 61–76.
Blitz, D. and P. van Vliet (2007). 波动性效应. Journal of Portfolio Management 34(1), 102–113.
Boguth, O., M. Carlson, A. Fisher, and M. Simutin (2011). 条件风险与绩效评估：波动性择时、过度条件化与动量阿尔法的新估计. Journal of Financial Economics 102(2), 363–389.
Bollerslev, T. (1986). 广义自回归条件异方差. Journal of Econometrics 31(3), 307–327.
Bollerslev, T., S. Z. Li, and V. Todorov (2016). 粗糙化贝塔：连续与不连续贝塔与预期股票收益的横截面. Journal of Financial Economics 120(3), 464–490.
Cederburg, S. and M. S. O’Doherty (2016). 抗贝塔值得吗？关于贝塔异象的条件表现. Journal of Finance 71(2), 737–774.
Engle, R. F. (1982). 带有英国通胀方差估计的自回归条件异方差. Econometrica 50(4), 987–1007.
Engle, R. F. (2002). 动态条件相关性：一类简单的多元广义自回归条件异方差模型. Journal of Business & Economic Statistics 20(3), 339–350.
Engle, R. F. (2016). 动态条件贝塔. Journal of Financial Econometrics 14(4), 643–667.
Ferson, W. E. and C. R. Harvey (1999). 条件变量与股票收益的横截面. Journal of Finance 54(4), 1325–1360.
Ferson, W. E. and R. W. Schadt (1996). 衡量经济条件变化下的基金策略与绩效. Journal of Finance 51(2), 425–461.
Frazzini, A. and L. H. Pedersen (2014). 抗贝塔. Journal of Financial Economics 111(1), 1–25.
Grant, D. (1977). 投资组合绩效与择时决策的“成本”. Journal of Finance 32(3), 837–846.
Jagannathan, R. and Z. Wang (1996). 条件CAPM与预期收益的横截面. Journal of Finance 51(1), 3–53.
Lewellen, J. and S. Nagel (2006). 条件CAPM不能解释资产定价异象. Journal of Financial Economics 82(2), 289–314.
Novy-Marx, R. and M. Velikov (2022). 抗抗贝塔. Journal of Financial Economics 143(1), 80–106.
Shanken, J. A. (1990). 跨期资产定价：一项实证研究. Journal of Econometrics 45(1–2), 99–120.