第3章：统计矩作为因子
在因子投资领域，因子从根本上讲是使用变量来表征资产收益的特定属性。如果我们能够识别出一个预测资产未来收益的属性，那么我们就找到了一个有效的因子。
从一个简单的视角出发，我们可以从分析单个股票的历史收益开始。将这些收益视为来自特定分布的样本提供了一种直观的方法。这种分布可能受到多种因素的影响，包括市场风格、资产基本面和投资者偏好。尽管我们可能无法直接从理论推导出这种分布，但我们可以通过经验和参数方法来描述它。
最基本的参数方法之一是矩法。例如，对于正态分布，矩法只需要均值和方差就能完全表征分布。尽管真实市场中的资产收益并非完全正态，但它们通常表现出类似于正态分布的特征：大多数收益在零附近波动，大波动较少发生，极端收益极为罕见。
3.1 矩为什么重要？
将统计矩用作金融因子的历史发展与现代投资组合理论和资产定价模型的演变密切相关。以下是关键里程碑的简要讨论。
统计矩在金融中的使用可以追溯到哈里·马科维茨关于投资组合选择的开创性论文（Markowitz 1952）。在这项工作中，马科维茨提出投资者关注收益分布的两个矩：均值（作为预期收益的度量）和方差（作为风险的度量）。这奠定了MPT核心的均值-方差优化框架的基础。随着方差被用作风险的代理，问题变成了一个均值-方差优化问题。这意味着投资者偏好预期收益（一阶矩），但厌恶方差（二阶中心矩）。
哈里·马科维茨
哈里·马科维茨是经济学和金融领域有影响力的人物，以他发展现代投资组合理论（MPT）而闻名，这一框架从根本上改变了投资者和金融专业人士处理投资组合构建、风险管理和资产配置的方式。
马科维茨出生于1927年8月24日，他的学术生涯将他带到芝加哥大学，在那里他获得了经济学博士学位。正是他的博士论文（后来于1952年作为《投资组合选择》发表在《金融学杂志》上）引入了这些概念，并为他赢得了1990年的诺贝尔经济学奖。
马科维茨现代投资组合理论的本质是，投资者可以通过在给定风险水平下最大化预期收益来实现最优投资组合构建。这种方法与当时盛行的孤立评估每项投资风险和回报的智慧大相径庭。马科维茨的关键见解是，通过分散投资组合——将价格并非完全同步变动的资产组合在一起——投资者可以降低投资组合的整体波动性并提高其回报潜力。
他的理论引入了有效前沿的概念，代表了在给定风险水平下提供最佳可能预期收益的投资组合集合。这一概念已成为投资管理和金融分析的基石，说明了风险与回报之间的权衡关系，并指导投资者寻求最有效的资产配置。
在MPT开创性工作之后，马科维茨继续将数学技术应用于金融领域，包括与George Dantzig在兰德公司的合作中使用线性规划。在他的职业生涯中，马科维茨担任过各种学术和行业职位，并继续为经济学和运筹学研究做出贡献。
哈里·马科维茨的贡献对金融业产生了持久的影响，塑造了全球的投资策略和资产管理实践。他的思想被广泛采纳，并仍然是金融实践不可或缺的一部分，影响从个人投资组合管理到复杂金融工具的构建以及机构投资的战略配置等方方面面。马科维茨于2023年6月22日去世，在金融的学术和实践方面都留下了丰富的遗产。
在MPT的基础上，CAPM进一步巩固了前两个矩在资产定价中的重要性（Sharpe 1964, Lintner 1965, Mossin 1966）。CAPM表明，资产的预期收益由其系统性风险（贝塔）决定，贝塔本质上是资产收益与市场收益的协方差除以市场方差。贝塔成为解释回报的关键因子。
威廉·F·夏普
威廉·F·夏普是一位美国经济学家，以其在资本资产定价模型（CAPM）方面的工作而闻名，这使他与哈里·马科维茨和默顿·米勒共同获得了1990年的诺贝尔经济学奖。夏普出生于1934年6月16日，他的贡献极大地塑造了现代金融理论，特别是在投资、定价模型和对金融市场行为的理解方面。
夏普的CAPM在1964年题为“资本资产价格：风险条件下的市场均衡理论”的论文中提出，提供了一个公式，在考虑投资相对于市场的风险时计算投资的预期回报。该模型本质上将投资的预期回报与其贝塔（资产相对于市场的波动性度量）联系起来。根据CAPM，证券的预期回报等于无风险利率加上风险溢价，风险溢价基于市场溢价乘以证券的贝塔。
CAPM是一个突破，因为它提供了一种评估风险与回报之间权衡的方法，这对投资者的决策过程至关重要。它已成为金融领域定价风险证券和生成考虑证券风险和货币时间价值的预期回报估计的基本工具。
夏普还发展了所谓的夏普比率，一种计算投资风险调整后回报的度量。该比率已成为比较具有不同风险特征的投资基金或投资组合表现的标准指标。它的计算方法是：从投资组合的回报中减去无风险利率，然后将结果除以投资组合的标准差（其波动性的度量）。较高的夏普比率表示更理想的风险调整后回报。
除了这些开创性的贡献，夏普还撰写了大量关于投资基金、资产管理和退休规划的文章。他曾在华盛顿大学、加州大学欧文分校以及最著名的斯坦福大学商学院担任学术职务。在他的整个职业生涯中，夏普不仅因其理论工作而受到认可，还因其努力使金融对个人和机构更易理解和实用而受到认可。他的工作影响了财务顾问和机构管理资产、构建投资组合和理解市场行为的方式。威廉·夏普对金融的持久影响继续为世界各地的投资管理理论和实践提供信息。
假设每个投资者对非负收益 (x) 具有效用函数 (u(x))，我们在均值 (x^) 附近对效用函数进行泰勒展开至四阶矩： [ u(x) = u(x^) + u'(x^)(x - x^) + \frac{u''(x^)(x - x^)^2}{2!} + \frac{u'''(x^)(x - x^)^3}{3!} + \frac{u''''(x^)(x - x^)^4}{4!} + \ldots \quad (3.1) ] 对两边取期望得： [ E[u(x)] = u(x^) + \frac{u''(x^)E[(x - x^)^2]}{2!} + \frac{u'''(x^)E[(x - x^)^3]}{3!} + \frac{u''''(x^)E[(x - x^*)^4]}{4!} + \ldots \quad (3.2) ]
这里右边的第一项是均值 (x^) 的效用值，第二项 (E[(x - x^)^2]) 是方差，系数为 (u''(x^)/2!)。现代投资组合理论假设投资者希望在给定预期收益水平下最小化方差，因此我们可以假设风险厌恶个体的系数 (u''(x^)) 应为负值，即效用函数应为凹形。对于三阶矩，它与偏度（即结果的不对称性）相关。在金融文献中，发现投资者偏好彩票型结果，即能够提供极正结果（尽管概率很小）的游戏通常更受青睐。这可以转化为三阶矩的系数 (u'''(x^)) 为正。四阶矩衡量分布尾部的密集程度，即金融世界中所谓的“黑天鹅”事件发生的可能性，通常被称为“尾部风险”。实证证据表明投资者厌恶尾部风险，因此效用函数中关联的系数 (u''''(x^)) 应为负号。尾部风险近年来日益受到关注；我们将在第7章进行全面讨论。
上述讨论表明统计矩是良好的因子候选。一般来说，投资者偏好奇数阶矩（即 (u(x)) 的所有奇数阶导数应为正），但厌恶偶数阶矩（即 (u(x)) 的所有偶数阶导数应为负）。
本章组织如下：第3.2节简要回顾随机变量和矩。第3.3节讨论方差作为风险，并展示其可分解为系统性和非系统性成分。第3.4节介绍低风险异象并对这一现象提供一些解释。第3.5节描述该主题的最新进展，涵盖下半方差、半贝塔和协同偏度。第3.6节总结。
3.2 关于矩的基本概念
3.2.1 随机变量
从基础统计学可知，随机变量 (X) 是一个其值取决于随机实验结果的变量。正式地说，它是一个从样本空间 (\Omega) 映射到实数线 (\mathbb{R}) 的实值函数，(X: \Omega \to \mathbb{R})。在金融中，资产收益被视为随机变量，其可能结果是随机的且为实数。
如果随机变量是可数的（有限或无限），则它是离散的，其概率分布可以用概率质量函数（PMF）描述，该函数为每个可能值 (P(X=x_i)) 分配一个概率。当随机变量 (X) 的值是不可数无限时，我们称其为连续随机变量，其分布由概率密度函数（PDF）描述，该函数为其落在某个区间内的概率赋值，而 (X) 等于单点的概率为零。我们通常使用 (f_X(x)) 表示PDF。注意，如果 (X) 是连续的，则对于任何单个值 (x)，(P(X=x)=0)。
任何随机变量 (X)（离散或连续）也可以用累积分布函数（CDF）描述，CDF定义为 (X) 小于或等于特定值 (x) 的概率。我们通常使用 (F_X(x)) 表示CDF，即 (F_X(x)=P(X \le x))。
随机变量 (X) 的概率密度大于零的值的范围称为“支撑集”。在金融中，我们通常将资产收益建模为连续随机变量，因为它们可能的结果无法计数且是无限的。如果我们假设收益服从正态分布，那么支撑集将是实线 (\mathbb{R})，因为正态分布随机变量的范围可以从 (-\infty) 到 (+\infty)。
给定随机变量 (X) 的分布，我们可以将其一阶矩定义为期望（或均值 (\mu_x)）： [ E[X] \equiv \mu_x = \sum_i P(X=x_i)x_i \quad (3.3) ] 若 (X) 是离散的；或者 [ E[X] \equiv \mu_x = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx \quad (3.4) ] 若 (X) 是连续的。
3.2.2 均值和方差
期望值（或均值）以概率为权重衡量可能结果的加权平均。由于随机变量的真实分布通常是未知的，我们使用样本来估计矩。利用容量为 (n) 的历史样本估计均值得到样本均值 (\bar{x})，它假设每个历史结果具有相等的概率 (1/n)： [ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \quad (3.5) ]
均值给出了可能结果的平均值（见图3.1）。如果我们想知道结果围绕均值的分散程度，我们需要二阶中心矩，其中“中心”强调分散是围绕均值的。二阶中心矩定义为 (E[(X-\mu_x)^2])，也称为方差，通常记作 (\sigma_x^2) 或 (\text{var}(x))。如果我们使用历史样本来估计它，样本方差估计量为： [ \hat{\sigma}x^2 = \frac{\sum{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \quad (3.6) ]
注意公式(3.6)的分母是 (n-1) 而不是 (n)，因为该式涉及同样被估计的样本均值 (\bar{x}) 而不是真实的 (\mu_x)。直观上，由于 (\bar{x}) 的存在，我们损失了一个自由度。可以证明，假设所有 (x_i) 独立同分布（i.i.d.），使用 (n-1) 作为分母可以得到方差的无偏估计量。
从方差公式可以看出，它衡量结果围绕均值的平均分散程度。高于或低于均值的结果被同等对待，因为我们对其取平方。下一个问题是，我们如何衡量分布的不对称性？这是三阶矩。
3.2.3 偏度和峰度
三阶中心矩定义为 (E[(X-\mu_x)^3])，是衡量分布偏斜程度的度量。任何对称分布的三阶中心矩（若定义）为零。此外，标准化的三阶中心矩称为偏度： [ \text{skewness}(X) = E\left[ \left( \frac{X-\mu_x}{\sigma_x} \right)^3 \right] \quad (3.7) ]
可以想象，将结果取三次方是保号的，即高于均值的结果仍为正，低于均值的结果为负。此外，通过取三次方，极端结果将在数值上占据主导地位。因此我们可以理解：正偏度表示右侧有尖锐的尾部（存在一些极端正结果的概率），而负偏度表示左侧有尖锐的尾部（存在一些极端负结果的概率），见图3.2。三阶中心矩的无偏样本估计量为： [ \frac{n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^3}{(n-2)(n-1)} \quad (3.8) ]
类似地，四阶中心矩 (E[(X-\mu_x)^4]) 表示中心峰度程度，或等价地，外尾的肥厚度。标准化的四阶中心矩称为峰度： [ \text{kurtosis}(X) = E\left[ \left( \frac{X-\mu_x}{\sigma_x} \right)^4 \right] \quad (3.9) ]
将结果与均值的差取四次方会同等对待正负结果。因此，峰度衡量两侧极端结果的密集程度或厚度。具有高峰度的分布称为肥尾分布。我们通常使用正态分布作为比较的参考。具有与正态分布相同峰度的分布称为常峰态。峰度高于正态的分布称为尖峰态，而峰度低于正态的分布称为低峰态（见图3.3）。峰度的无偏样本估计量更为复杂，其定义为： [ \frac{n(n+1) \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^4}{(n-3)(n-1)^2} \quad (3.10) ]
3.2.4 矩与资产收益
接下来的讨论转向不同阶矩对股票预期收益的影响。虽然关于峰度的学术证据并不特别丰富或引人注目，但关于波动性（更准确地说，方差/标准差）和偏度如何影响股票收益已经有大量研究。本节简要介绍一些代表性发现。
关于波动性，van Viet和de Koning（2016）分析了1929年至2015年间86年的美国股票数据。在实证研究中，他们使用过去三年月度收益的波动性作为因子。此外，为了排除极低市值和流动性不足的影响，他们每个时期只考虑市值排名前1000的股票，并根据因子值将其分成十个十分位组（因此每个十分位组包含100只股票）。投资组合按季度再平衡。他们的结果表明，在整个回测期间，波动性最低的十分位组平均年化收益为10.2%。相比之下，波动性最高的十分位组平均年化收益仅为6.4%。考虑到复利效应，两组收益年化3.8%的差异导致低波动性组的累计回报是高波动性组的18倍。这些发现表明波动性与股票收益之间存在负相关关系。然而值得注意的是，尽管低波动性投资组合显著优于高波动性投资组合，但跨十分位组观察时，波动性与平均收益之间的关系并非单调。
此外，Blitz和van Vliet（2007）在全球范围内检验了这一现象。他们从1986年到2006年的发现表明，在大市值股票中采用做多低波动性股票、做空高波动性股票的投资组合策略实现了12%的平均年化收益，t统计量为3.0。
接下来我们考察偏度。大多数投资者偏好收益呈现正偏度的股票，因为它们偶尔有获得大额回报的潜力。相反，具有负偏度特征的股票通常不太受欢迎，因为它们容易遭受显著的价值下跌。尽管如此，区分偏度的类型很重要。表现出高水平系统性偏度的股票因其在市场低迷时期的韧性而受到重视，提供了抵御损失的保护。相比之下，具有高特质性偏度的股票因其能够独立于整体市场趋势提供可观回报（类似于彩票式的意外之财）而具有吸引力。
先前探索偏度与资产定价之间理论联系的研究导致了不同模型的发展。其中一些模型认为只有系统性偏度应与风险溢价相关联，如Rubinstein（1973）、Kraus和Litzenberger（1976）以及Harvey和Siddique（2000）的研究所讨论的。其他模型则认为总偏度（包括系统性和特质性成分）在证券定价中起作用，这一观点得到了Brunnermeier、Gollier和Parker（2007）、Barberis和Huang（2008）以及Mitton和Vorkink（2007）研究的支持。这些模型之间的主要区别在于它们对投资者偏好潜在假设的不同。
Bali、Engle和Murray（2016）研究了偏度与股票收益的关系。行为金融理论认为，投资者对正偏度股票的追捧可能导致它们被高估，从而产生较低的预期收益。如果这一假设正确，那么做空高偏度股票、做多低偏度股票的策略可以实现显著的异常收益。
利用1963年至2012年的美国股票数据，Bali、Engle和Murray（2016）对偏度进行了广泛的分析。具体来说，他们考虑使用不同频率的数据（日度与月度）以及在不同回溯窗口上计算的偏度。在构建因子时，他们还同时考虑了等权和市值加权方案。偏度与收益之间的关系显著依赖于因子的构建方式。例如，使用日度频率数据和一个月窗口计算偏度因子时，等权十分位组投资组合的平均收益与偏度呈显著的负相关。然而，当应用市值加权时，这种相关性发生逆转，表明以这种方式构建的偏度因子的实证结果不稳健，可能是由于偏度估计误差较高。
在进一步考虑偏度因子的持续性并通过Fama-MacBeth回归分析控制其他变量后，Bali、Engle和Murray（2016）建议使用月度收益和更长的历史窗口来估计偏度并构建相关因子。在这种情况下，偏度与预期股票收益呈负相关。例如，当使用过去一年的月度收益计算偏度并使用市值加权构建投资组合时，做多最低偏度、做空最高偏度的投资组合平均月度收益为0.34%（t统计量为2.49）。在控制了Fama-French三因子和Carhart（1997）的动量因子后，这一结果仍然在经济上和统计上显著。
Langlois（2018）探讨了系统性和特质性偏度在解释预期股票收益中的作用。作者开发了一种新方法来预测系统性和特质性偏度的横截面排名，这些排名比它们的实际值更容易预测。研究发现，预测的系统性偏度风险因子带有每年7%至12%的显著风险溢价。这一溢价在纳入下行贝塔、规模、价值、动量、盈利能力和投资等其他因子后仍然稳健。然而，特质性偏度在股票定价中的作用则不那么稳健。该论文还考察了系统性和特质性偏度的决定因素，发现它们不同。
3.2.5 部分矩
低阶部分矩（LPM）是金融中一组捕捉投资或投资组合下行风险的指标。与同时考虑上行和下行波动性的标准差不同，LPM仅关注相对于目标或阈值水平（如无风险利率或投资者的最低可接受回报）的下行或负收益。
低阶部分矩可以分为不同阶数：
- 零阶LPM（LPM0）衡量收益低于阈值的概率。
- 一阶LPM（LPM1）对低于阈值的绝对差值求和，代表预期缺口。
- 二阶LPM（LPM2）对低于阈值的差值平方，强调较大的偏差，与下行方差或半方差相关。
LPM通常针对第 (n) 阶计算： [ LPM_n = \int_{-\infty}^{t} (t - r)^n f(r) dr \quad (3.11) ] 其中 (t) 是目标收益阈值，(r) 是实际收益，(f(r)) 是收益的概率密度函数，(n) 是LPM的阶数。
Bawa（1975）和Bawa与Lindenberg（1977）发展了整合LPM的CAPM，产生了适用于任何概率分布的资产定价均衡值。这种基于LPM的CAPM包含了传统模型，承诺至少对市场数据具有可比的解释力。该框架还扩展为资本投资项目提供决策标准。Fishburn（1977）的工作是均值-风险分析领域的基础，包括将低阶部分矩作为风险度量的讨论。Harlow和Rao（1989）将均值-方差框架推广到包括低阶部分矩，并检验了其经验表现。
类似地定义的高阶部分矩（UPM）是金融中使用的统计工具，用于衡量投资回报在特定目标或基准之上的潜在上行或正偏差。与通常关注下行风险的传统风险指标不同，UPM分离出投资波动性中代表机会而非风险的部分。
UPM可以帮助投资者理解投资超越基准的程度。通过仅关注回报分布的上尾，投资者可以评估超越表现的潜力以及正超额回报的频率和幅度。寻求最大化收益的投资者也可以在优化过程中使用UPM，使投资组合倾向于历史上相对于基准提供更频繁或更显著上行偏差的资产或策略。与风险控制相关，UPM可以整合到风险调整后的业绩指标中，如Sortino比率或Omega比率，这些指标的分母仅考虑下行风险。这些指标通过关注投资者欢迎的“好”波动性，提供了更细致的业绩视角。UPM迎合了具有非对称风险偏好的投资者，他们可能更感兴趣于最大化收益而不是最小化损失。这对于那些将资本增值优先于资本保值作为委托或目标的投资者尤其相关。UPM也可用于研究金融的行为方面，如投资者乐观主义和对彩票型回报（即低概率高回报）投资的偏好。最后，可以使用UPM设计金融产品，如结构化票据或基于期权的策略，以瞄准高于某一水平的回报，为投资者提供与其投资目标和风险承受能力相一致的定制解决方案。
部分矩在投资组合选择（Jarrow and Zhao 2006, Brogan and Stidham 2008, Ling et al. 2014）和资产定价（Ang, Chen, and Xing 2006, Anthonisz 2012, Kelly and Jiang 2014, Guastaroba et al. 2016）领域受到了相当大的关注。
最近，Huang、Li和Yao（2022）通过应用LPM和UPM来衡量投资组合相对于基准的偏离，引入了一种新颖的指数挂钩投资策略方法，并加入了一个平衡参数来连接这两种度量，以创建增强型指数和指数跟踪模型。该研究通过使用六个全球指数的模拟和实证分析证明，所提出的模型在收益方面可以优于传统模型，指数跟踪模型实现了类似平均绝对偏差模型的稳定表现。
3.2.6 评论
简单的矩估计已经识别出似乎具有资产回报预测信息的因子。在实际应用中，有许多可调节的参数供用户选择，如回溯期和频率（例如，年度、月度或日度）。这些不仅仅是参数的变化；它们反映了资产的不同属性并影响投资者对这些资产的看法，导致这些因子对股票的选择不同。
捕捉较短期的波动性特征可以利用更高频率的数据，例如使用日度收益来衡量年度波动性，或使用分钟级收益来衡量日度波动性。此外，是否排除异常值也会影响因子值。例如，某资产在一天内的异常波动，如果持续包含在滚动计算中，可能会显著影响得出的波动性值。排除的决定应基于人们希望捕捉的属性以及异常回报背后的原因。
在这里，我们概述了一些计算细节，但还有更多可操作的方面。有了明确的目标和正确的实证程序，因子预测能力的进一步提升很可能实现。资产收益的矩估计可以作为我们的起点，促使我们进一步思考矩是否能够描绘资产收益的额外独特动态。
3.3 方差作为风险：系统性与非系统性
在之前的讨论中，我们仅依赖资产的原始收益进行统计分析，即计算相应的矩。这就提出了一个相关问题：原始收益是捕捉资产属性的最佳度量吗？这一探究还受到以下事实的进一步推动：当绘制典型资产的收益分布图时，通常观察到分布的尾部有凸起，表明存在与均值的显著偏离。这一现象值得对其起源进行调查。例如，这些偏离是系统性的还是非系统性的？系统性和非系统性变化是否传递不同类型的信息？在思考这些问题后，我们倾向于重新审视本书前面提到的因子定价模型。值得研究的是，一旦控制了因子，非系统性收益的分布是否也能（或者可能更有效地）揭示资产的内在特征。
3.3.1 特质性风险
系统性风险与非系统性风险的概念源于之前讨论过的资本资产定价模型。重复一下，在CAPM下，我们可以将资产的超额收益表示为： [ r_{i,t} = \alpha_i + \beta_i r_{m,t} + \varepsilon_{i,t} \quad (3.12) ] 其中 (r_{i,t}) 是股票 (i) 超过无风险利率的超额收益，(r_{m,t}) 是市场超额收益（即市场因子）。如果CAPM成立，所有资产的 (\alpha_i) 应为零，任何资产 (i) 的超额收益应完全由其相对于市场因子的暴露（即 (\beta_i)）决定。
如果我们对方程(3.12)两边取方差，资产 (i) 的风险（方差）可以分解为系统性和非系统性部分： [ \sigma_{i,t}^2 = \beta_i^2 \sigma_{m,t}^2 + \sigma_{\varepsilon,t}^2 \quad (3.13) ]
从方程(3.13)可以清楚地看出，系统性风险是 (\beta_i^2 \sigma_{m,t}^2)，即由市场驱动的风险部分，按资产 (i) 的（平方）系统性暴露缩放。其余风险 (\sigma_{\varepsilon,t}^2) 被称为该特定资产的非系统性风险或特质性风险，因为它由资产 (i) 的独特特征驱动。
需要明确的是，系统性风险与非系统性风险的分解并非独立于因子模型的选择。如果我们使用Fama-French三因子模型而非CAPM作为定价模型，那么给定资产的超额收益回归模型为： [ r_{i,t} = \alpha_i + \beta_{i,1} r_{m,t} + \beta_{i,2} SMB_t + \beta_{i,3} HML_t + \varepsilon_{i,t} \quad (3.14) ]
在这种情况下，残差 (\varepsilon_{i,t}) 的方差将不同于基于CAPM计算出的方差。从因子投资的角度来看，我们可以使用特质性收益的标准差（即特质性波动率）来构建因子，而不是使用总收益的方差（即资产超过无风险利率的超额收益）。
3.3.2 特质性波动率与资产收益
传统金融理论认为，特质性波动率可以通过分散化来抵消，因此不应与资产收益相关。然而，Ang等人（2006）通过证明具有较高特质性波动率的股票往往具有较低的未来收益，挑战了这一观点，表明两者之间存在负相关。具体来说，该论文以Fama-French三因子模型为基准，使用前一个月的日度收益数据计算收益残差和特质性波动率。基于1963年至2000年的美国股票数据，研究发现，做多低特质性波动率组同时做空高特质性波动率组，产生显著的平均月度超额收益1.06%，t统计量为3.10。这一结果表明特质性波动率与资产收益之间存在显著的负相关关系。
自发表以来，Ang等人（2006）已成为《金融学杂志》上被引用最多的文章之一，突显了学术界的极大兴趣。三年后，在另一项调查中，Ang等人（2009）通过来自美国和全球的额外实证证据确认了他们先前发现的稳健性。
Ang等人（2006）的工作在学术界引发了广泛争论。相反的研究也不乏其例；例如，Fu（2009）主张特质性波动率与收益之间存在正相关，认为Ang等人（2006）发现的负相关是由于一小部分具有高特质性波动率的股票收益反转所致。此外，Anderson、Bianchi和Goldberg（2015）对特质性波动率与预期收益之间的负相关表示怀疑。
实证研究常常有陷入数据窥探陷阱的风险，因此相互矛盾的结果并不令人惊讶。关于特质性波动率与预期收益之间关系的学术共识仍未确定。研究支持所有立场，无论是正相关、负相关还是无显著相关。然而，更多的发现指向特质性波动率与收益之间的负相关，这种现象被称为特质性波动率谜题。
为了解开这个谜题，Stambaugh、Yu和Yuan（2015）从套利不对称的角度进行了一项研究，得到了优雅的实证结果。他们根据估值将股票分为五组，发现在被高估最严重的组内，特质性波动率与资产收益之间存在负相关。相反，在被低估最严重的组内，两者之间存在正相关。最有趣的部分是：套利不对称导致对被高估最严重的股票的市场套利不足，使得该组中特质性波动率与资产收益之间的负相关性强于被低估最严重组的正相关性。这导致在横截面上特质性波动率与资产收益总体呈负相关，与Ang等人（2006）发现的特性性波动率异象一致。
3.3.3 评论
与使用原始收益的矩估计相比，考虑特质性波动率或收益分布的矩估计提供了额外的见解，在收益可预测性方面通常产生更优越的结果。虽然我们已经列举了几个定价模型，但更广泛的定价模型谱系可用于解释目的。研究人员应深思熟虑地选择最适合解剖收益的因子模型，针对他们正在研究的特定股票市场或股票集合进行定制。这种方法能够实现更准确的分解，更有效地服务于研究目标，增强分析的粒度与适用性。
3.4 低风险异象的解释
传统金融理论认为高风险资产应通过更高的预期收益来补偿。然而，从我们的讨论中可以看出，无论是通过使用原始收益的二阶和三阶矩，还是通过计算特质性波动率，高风险资产似乎都与较低的预期收益相关联。这种普遍存在的现象被称为低风险异象。
人们已经做出了许多尝试来解释这一异象背后的原因，其中之一与投资者对彩票型收益的偏好有关。行为金融理论发现，个体经常错误估计概率事件的似然性。例如，投资者倾向于高估罕见事件发生的概率，这支撑了赌博行为并促使他们寻求彩票型股票。
投资者寻求彩票型收益的事实已在文献中得到充分证明。这使得偏度成为一个有效因子。由于投资者喜欢具有正偏度的资产，这些资产容易被高估，导致未来收益降低。对彩票收益的偏好也扩展到使用历史时期的最大收益作为因子。其逻辑是，过去时期具有高最大收益的资产可能被高估，因为投资者通常认为它们有更高的概率获得极端正结果。在这方面，Bali、Cakici和Whitelaw（2011）提供了一项实证研究。他们使用1962年至2005年的美国股票数据，利用给定股票前一个月的最大日度收益构建了一个MAX变量，并发现在最大日度收益最高和最低的投资组合之间的收益差为-1.03%（t统计量为-2.83）。
除了前面讨论的变量，低CAPM贝塔也作为低风险的另一个代理。低贝塔与收益之间的负相关在Frazzini和Pedersen（2014）题为“抗贝塔”的开创性论文中有所记载。该研究发现，包括美国在内的20个股票市场中的低贝塔股票表现出更高的未来预期收益。他们认为这种现象的根本原因归因于投资者面临的杠杆约束。然而，Bali等人（2017）假定个人投资者对彩票型股票的追求是低贝塔异象的重要促成因素。他们强调，个人投资者对经历短期大幅上涨的股票表现出明显的偏好，这些股票通常与较高的贝塔相关联，导致这些股票被高估，从而在未来收益中表现不佳。对投资者构成的分析表明，低贝塔异象在机构投资者比例较低的股票中更为显著，而在机构投资者大量存在的股票中效果较弱。个人投资者的主导地位，以其对彩票型股票的强烈偏好为特征，与机构投资者更理性的方法形成对比。这种二分法进一步强调了个人投资者对彩票型股票的需求是低贝塔异象的关键驱动因素。
3.5 矩的最新进展
3.5.1 好波动性与坏波动性
在考察了收益的波动性之后，自然会思考资产波动性所携带的预测信息在不同情景下是否有所不同。具体来说，在上行运动时期和下行运动时期，波动性的解释是否有区别？
上行和下行运动都在资产观察到的波动性中发挥作用。然而，值得注意的是，投资者倾向于忽视来自上行运动的波动性，而更关注与下行运动相关的波动性。这意味着上行运动的波动性通常不被视为需要额外关注的风险。在此背景下，人们已经开始努力描绘波动性的上行与下行效应的不同含义。
这方面的一个例子是Bollerslev、Li和Zhao（2020）的研究，他们将股票的实现变差分解为已实现的上行和下行半方差，即“好”和“坏”波动性。用 (p_T) 表示某资产在第 (T) 天的自然对数价格，一个通用的跳跃扩散过程假设对数价格遵循： [ p_T = \int_0^T \mu ds + \int_0^T \sigma dW + J_T \quad (3.15) ]
设 (p_t, p_{t+1/n}, \ldots, p_{t+1}) 为交易日 ([t, t+1]) 上观测到的 (n+1) 个等间隔对数价格，定义日内收益 (r_{t+i/n} = p_{t+i/n} - p_{t+(i-1)/n})。则第 (t) 天的日度已实现方差（(RV)）为： [ RV_t = \sum_{i=1}^n r_{t-1+i/n}^2 \quad (3.16) ]
在 (n \to \infty) 的极限下，(RV_t \to \int_{t-1}^t \sigma_s^2 ds + \sum_{t-1<\tau \le t} J_\tau^2)。将 (RV) 分解为正负日内收益部分： [ RV_t^+ = \sum_{i=1}^n r_{t-1+i/n}^2 \mathbf{1}{[r{t-1+i/n}>0]}, \quad RV_t^- = \sum_{i=1}^n r_{t-1+i/n}^2 \mathbf{1}{[r{t-1+i/n}<0]} \quad (3.17) ] 其中 (\mathbf{1}_{[x]}) 是指示函数，若条件 (x) 满足则等于1，否则为0。因此，第 (t) 天的符号跳跃（(SJ)）定义为： [ SJ_t = RV_t^+ - RV_t^- \quad (3.18) ]
在 (n \to \infty) 的极限下，(RV_t^+ \to \int_{t-1}^t \sigma_s^2 ds + \sum_{t-1<\tau \le t} J_\tau^2 \mathbf{1}{[J\tau>0]})，(RV_t^- \to \int_{t-1}^t \sigma_s^2 ds + \sum_{t-1<\tau \le t} J_\tau^2 \mathbf{1}{[J\tau<0]})，且 [ SJ_t = \sum_{t-1<\tau \le t} J_\tau^2 \mathbf{1}{[J\tau>0]} - \sum_{t-1<\tau \le t} J_\tau^2 \mathbf{1}{[J\tau<0]} \quad (3.19) ]
由于不同股票可能具有不同幅度的跳跃，(SJ) 通常用 (RV) 进行标准化，最终定义相对符号跳跃（(RSJ)）为： [ RSJ_t = \frac{SJ_t}{RV_t} \quad (3.20) ]
利用上述数学模型，Bollerslev、Li和Zhao（2020）采用1993年至2013年的日内高频收益数据研究了 (RSJ) 与资产收益之间的关系。实证发现表明，通过做多 (RSJ) 最低的投资组合并做空 (RSJ) 最高的投资组合，可以获得0.29%的周度超额收益（相当于约15%的年化超额收益），对应的t统计量为5.83。考虑到 (RSJ) 的构建方式，较低的值意味着资产的下行波动性较高。因此，这些结果表明投资者更加关注下行风险，并要求更高的风险补偿。
3.5.2 半贝塔
上一节的风险分解聚焦于资产本身的波动性，得到代表上行和下行风险的半方差，实证发现也表明投资者对下行风险的高度关注。受此启发，可以将类似的方法应用于分解资产的系统性风险，将焦点从资产波动性转移到资产贝塔。基于此，Bollerslev、Patton和Quaedvlieg（2022）对资产与市场因子之间的协方差进行了更详细的分解，引入了半贝塔的概念。然而，在深入讨论这篇论文之前，我们首先简要讨论贝塔分解的先驱：Ang、Chen和Xing（2006）。
Ang、Chen和Xing（2006）假设，具有高下行风险的资产在投资者收益较低的时期产生最低的回报，因此需要对高下行风险的资产进行风险补偿，从而具有更高的预期收益。为了检验这一假设，他们采用以下方法计算下行贝塔： [ \beta_i^- = \frac{\text{cov}(r_i, r_m \mid r_m < \mu_m)}{\text{var}(r_m \mid r_m < \mu_m)} \quad (3.21) ] 其中 (r_i) 和 (r_m) 分别代表资产和市场的超额收益，(\mu_m) 是市场超额收益的均值。换句话说，下行贝塔定义为当市场超额收益低于均值时的条件贝塔。类似地，也可以计算上行贝塔。实证结果表明，具有较高已实现下行贝塔的股票具有显著更高的未来收益，表明正相关，从而验证了下行风险在股票收益中的重要性。换句话说，识别具有更大未来下行风险的股票可能产生显著的超额收益。
在其后续研究中，Bollerslev、Patton和Quaedvlieg（2022）同时考虑了资产和市场收益的符号，而不仅仅是基于市场收益的符号进行条件化，从而允许对原始贝塔进行更细粒度的分割。从协方差的定义出发，并考虑资产和市场收益的符号，原始协方差可以分解为四个部分（为简化推导，假设两个收益都已去均值）： [ \text{cov}(r_i, r_m) = E[r_i r_m \mid r_i < 0, r_m < 0] + E[r_i r_m \mid r_i > 0, r_m > 0] + E[r_i r_m \mid r_i < 0, r_m > 0] + E[r_i r_m \mid r_i > 0, r_m < 0] \quad (3.22) ]
设 (N, P, M^+, M^-) 分别代表方程(3.22)右边的四个分量。(N, P, M^+, M^-) 半协方差分量指的是总协变差中由两个收益均为正（“P”）、两个收益均为负（“N”）、混合符号且市场收益为正（“M^+”）、混合符号且市场收益为负（“M^-”）定义的部分。
然后，贝塔可以相应地分解为： [ \beta_i = \frac{\text{cov}(r_i, r_m)}{\text{var}(r_m)} = \frac{N + P + M^+ + M^-}{\text{var}(r_m)} = \beta_i^N + \beta_i^P - \beta_i^{M^+} - \beta_i^{M^-} \quad (3.23) ]
注意在上述表达式中，(\beta_i^{M^+}) 定义为 (-M^+/\text{var}(r_m))，(\beta_i^{M^-}) 定义为 (-M^-/\text{var}(r_m))，因此方程中最后两项前有负号。鉴于投资者对下行风险的厌恶，代表下行风险的两个贝塔（即 (\beta_i^N) 和 (\beta_i^{M^-})）应该被相应地定价。此外，由于 (\beta_i^N) 代表风险，它因此应该带有正的风险溢价。另一方面，由于 (\beta_i^{M^-}) 代表在市场低迷时期表现良好的对冲资产，它因此应该具有负的风险溢价。
实证上，上述半贝塔是潜变量，不可直接观察，只能进行估计。根据Bollerslev、Patton和Quaedvlieg（2020）的研究，已实现半贝塔是真实半贝塔的一致估计量。实证结果证实了作者的假设，表明两个下行贝塔被显著定价，尽管方向相反（与预期方向一致），而两个上行贝塔未被定价。
3.5.3 协同偏度
另一个相关的度量是协同偏度。从CAPM来看，持有资产 (i) 的投资者因资产 (i) 的收益与市场的协方差而获得补偿。然而，在一个偏度意识的世界中，投资者还应因剩余协同偏度而获得补偿，剩余协同偏度定义为CAPM残差与市场超额收益平方的协方差： [ \text{coskew}_i = \text{cov}(\varepsilon_i, r_m^2) \quad (3.24) ] 其中 (\varepsilon_i) 来自方程(3.12)。
与协同偏度相关的工作可以追溯到1970年代。Kraus和Litzenberger（1976）假设，投资者递减的绝对风险厌恶意味着效用函数的三阶导数为正，表明对正偏度的偏好。Harvey和Siddique（2000）将这一概念形式化为一个模型，表明存在负偏度溢价。理论推导揭示，资产的剩余协同偏度与其CAPM-alpha（即CAPM模型的定价误差）呈负相关。这个理论模型意味着，当投资者关心偏度时，CAPM-alpha与剩余协同偏度密切相关。因此，剩余协同偏度可能是解释横截面的关键因子。
然而，实证挑战在于剩余协同偏度的事前估计。这方面的一个自然尝试是使用从期权价格推导出的隐含偏度，类似于隐含波动性。Schneider、Wagner和Zechner（2020）首先通过模拟分析检验了隐含偏度与真实剩余协同偏度的接近程度。他们生成了2000家公司的数据，然后根据隐含偏度将股票分成10组，并计算不同组的平均剩余协同偏度。结果表明两者之间存在强烈的负相关关系。实证上，使用1996年至2014年的真实美国股票数据，Schneider、Wagner和Zechner（2020）进一步证实了相同的模式。因此，从期权价格推导出的隐含偏度是剩余协同偏度的良好代理。此外，他们利用主成分分析和回归分析研究了剩余协同偏度与其他低风险异象之间的关系。具体来说，他们提取了四个低风险异象的第一主成分，并考察剩余协同偏度是否能解释这个主成分。结果显示前者几乎可以完全解释这个主成分。大量的实证证据表明，剩余协同偏度可以解释低风险异象，这并非偶然，而是因为它与低风险异象的核心驱动力相关，证实了前面讨论的理论模型的含义。对于低风险异象，Schneider、Wagner和Zechner（2020）可能为这一争论提供了一个潜在的解决方案：当剩余协同偏度被添加到定价模型中时，低风险异象不再存在。
3.6 结论
在本章中，我们考察了简单的统计矩作为因子。与传统智慧和传统金融理解相反，方差（波动性的常用度量）与资产收益之间的关系是负相关的，导致了著名的低波动性异象。这一异象可以部分由投资者对彩票型收益的偏好来解释，这是行为金融学领域内的一个概念，将在第8章详细讨论。
方差可以通过因子模型分解为系统性和特质性成分。系统性成分与市场暴露（即贝塔）相关联，这一主题值得在第4章单独讨论。特质性风险取决于所选定的因子模型。大量关于美国股票市场和其他全球市场的实证研究表明，特质性波动率作为因子甚至比收益本身的波动性更强。然而，鉴于这一因子的构建并非独立于所选因子模型，我们鼓励读者在分析中探索替代的基准模型。我们还深入探讨了将矩用作因子的最新进展，例如区分上行和下行波动性、半贝塔和协同偏度。
不可否认，统计矩及其扩展将始终是因子世界的一个基本方面。未来的研究方向可能有两个主要领域。首先，不是依赖历史样本统计量，一个途径是将贝叶斯技术应用于矩估计过程，以获得可能更好的估计量。此外，通过拓宽我们的视角，我们还可以将矩估计技术应用于收益以外的股票属性。例如，股票交易量可用于计算类似的度量或进行类似的分析，为因子研究提供新的见解。
完成本章后，很明显，资产收益的各种矩在生成因子方面具有显著潜力。然而，需要谨慎的是，更多的技术操作（例如采用更复杂的估计方法或试验不同的变量）可能会逐渐模糊对因子的逻辑理解。因此，在研究类似因子时，持续寻求所选变量的潜在含义以及因子背后的收益来源至关重要。诚然，确定收益来源通常没有一个单一的正确答案。然而，每次我们得出更合理和更深刻的解释时，它很可能表明对特定因子有了更深的理解。
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