第10章：不确定性
要理解不确定性，首先必须理解概率和统计推断的本质。
概率论的主要目标是通过量化事件的可能性来提供不确定性的定量描述。它允许我们为不同事件发生的机会赋予数值，即使这些事件是随机的。了解概率分布使我们能够计算每个结果在大规模观测中的预期频率，基于可能性做出明智的决策，并理解重复博弈的长期平均结果。概率论的本质在于，它不能确定性地预测单个事件，而是描述从许多单个事件中涌现出的总体模式。概率是统计推断的基础，统计推断涉及基于样本对总体得出结论。它使统计学家能够通过分析样本数据来预测总体的特征。
在金融市场中，由于影响资产价格和市场变动的变量无数，精确预测单个结果几乎是不可能的。然而，通过应用概率和统计推断，投资者和分析师可以运用量化方法来减少投资中固有的风险和不确定性。通过分析历史数据和市场趋势，他们可以识别资产收益的概率分布，这些分布反过来又揭示了未来价格变动的可能性。这种统计方法使得构建多元化投资组合成为可能，这些投资组合被优化以平衡预期收益与单个资产的波动性。此外，通过使用回归分析、蒙特卡洛模拟和风险价值等工具，金融专业人士可以创建预测框架，帮助预判可能的市场行为范围。尽管这些方法无法消除市场固有的不可预测性，但它们为理解和准备应对潜在情景提供了严谨的方法，从而在一个原本不确定的金融环境中提供了一定程度的控制。这就是量化金融的本质，其目标不是确定性地预测未来，而是做出对一系列可能结果都稳健的决策。
金融市场是复杂的生态系统，各种参与者在此交换资产、服务和风险。未来的固有不确定性对这些参与者构成了根本性挑战，他们试图在市场波动、经济周期和地缘政治事件的不可预测浪潮中航行。金融市场的核心功能是管理和减轻这种不确定性，将其转化为可操作的投资策略。因子投资在这一追求中成为一股强大的力量，提供了一种结构化的方法来捕获风险溢价，并在固有不确定性的世界中提供一种确定性的假象。
尽管金融中的风险管理模型很有用，但它们依赖一个重要假设：分布不会改变。换句话说，传统模型可以处理结果不确定性，但无法处理分布不确定性。这是一个关键的区别，因为结果不确定性指的是在定义明确的概率分布内结果的变异性。相比之下，分布不确定性（或模糊性）意味着概率分布本身不明确或可能发生变化。
传统模型的这种局限性不仅仅是学术上的；它对金融决策具有实际影响。在市场压力或经济动荡时期，资产收益的历史分布可能会突然发生显著变化，使得假设静态分布的模型效果降低，甚至产生误导。2007-2008年的全球金融危机就是一个鲜明的例子，许多风险模型未能预测或充分应对市场动态，因为它们基于稳定的历史分布模式，而这些模式很快就过时了。
此外，静态分布的假设忽视了这样一个事实：金融市场受到人类行为和往往不完全且不对称的信息的影响。市场参与者并不总是理性行动，他们对新信息的反应可能导致资产收益的潜在分布发生变化。金融市场的这种行为方面引入了传统模型难以轻松捕捉的额外复杂性和不确定性。
基于这些原因，有必要单独设立一章讨论不确定性——特别是分布不确定性。在本章中，波动性、风险和不确定性是相关但不同的概念，每个概念对投资决策和风险管理都有各自的影响。
10.1 波动性、风险与不确定性
波动性是衡量给定证券或市场指数收益离散程度的统计指标。它通常被量化为这些收益的标准差。在金融中，波动性常被用作风险的代理，因为它提供了资产价格随时间变化程度的度量。高波动性意味着资产价格可能在短期内朝任一方向剧烈变化，而低波动性则表示资产价格变动更平稳。
风险指的是投资的实际收益与预期收益存在差异的可能性，这可能导致潜在的财务损失。它涵盖了多种因素，包括市场风险、信用风险、流动性风险、操作风险等。风险是所有投资固有的，通常基于历史数据和统计模型进行量化。然而，它是一个比波动性更广泛的术语，既可以量化也可以无法量化。
风险与波动性之间的区别在于它们测量范围的广度。风险是一个更广泛的概念，包括已知和未知事件影响收益的可能性，而波动性是对过去价格波动的特定度量。
不确定性指的是未来的不可判定性。它涵盖了未知且无法准确量化甚至预测的事件。不确定性常常在“奈特不确定性”（或后来文献中的模糊性）的背景下讨论，以经济学家弗兰克·奈特的名字命名，他将不确定性区别于可量化的风险。奈特不确定性描述了结果概率未知且无法测量的情况，而风险涉及结果概率可以知道并可能测量的情景。
弗兰克·海尼曼·奈特
弗兰克·海尼曼·奈特（1885-1972）是一位有影响力的美国经济学家，在二十世纪早期对经济理论做出了重大贡献。他最著名的是对风险与不确定性的区分，这已成为经济学和金融学中的基础概念。
奈特于1885年11月7日出生在伊利诺伊州麦克莱恩县。他在一个基督徒家庭长大，最初打算成为一名牧师。然而，他的兴趣转向了哲学，然后是经济学。他曾在美利坚大学学习，后来转学到田纳西大学。奈特最终于1916年在康奈尔大学获得经济学博士学位。
奈特的学术生涯最主要与芝加哥大学相关，他从1927年开始在那里任教，直到1955年退休。在芝加哥，他是后来被称为芝加哥经济学派的核心人物，影响了许多后来成为杰出经济学家的学生，包括米尔顿·弗里德曼和乔治·斯蒂格勒。
奈特最有影响力的著作是《风险、不确定性与利润》（1921），他在书中确立了风险与不确定性之间的区别。在这部著作中，他认为：风险指的是各种结果的概率已知且可以量化的情境。在这些情况下，可以计算预期结果并对潜在风险进行保险。相比之下，不确定性存在于未来事件的可能性不确定或无法计算时。在不确定性下，无法可靠地计算概率或预期结果。
奈特认为，这种区分对于理解市场的功能和企业家的角色至关重要。根据奈特的观点，企业家因承担不确定性而非风险而获得补偿。他们通过成功地在无法用统计模型预测结果的 uncertain 情境中航行来赚取利润。
奈特的工作超越了这种二分法。他还对资本理论、社会经济学和伦理学等领域做出了重要贡献。他对包括经济学哲学、经济系统的功能以及经济学与教育之间的关系在内的各种主题都是深刻的思想家。
奈特的工作对经济学领域产生了持久的影响，并对各种经济理论和学科的发展产生了影响，包括管理经济学、战略管理和创业研究。
在金融领域，不确定性可能源于政治不稳定、意外的监管变化、自然灾害或技术突破等事件。这些事件很难（如果不是不可能的话）被纳入传统的风险模型，这些模型假设未来概率基于历史频率。
不确定性涵盖了更深的未知层面，其中结果的概率分布不易获得或无法精确定义。这种类型的不确定性出现在前所未有的市场条件下，例如在金融危机期间或变革性技术引入时，过去的数据可能对未来趋势几乎没有洞察。
面对这种不确定性，金融经济学家和投资者必须推动研究的前沿，开发能够在市场行为的未知水域中航行的模型。与可以通过历史波动性测量和量化的风险不同，不确定性需要更具创新性的方法。这些方法可能包括压力测试、情景分析以及使用对潜在概率分布做出较少假设的非参数模型。
在实践中，随着金融市场变得越来越复杂和相互关联，对不确定性建模的能力成为一项关键技能。它涉及辨别正常市场波动与预示着结构性变化的波动之间的区别。这种区分至关重要，因为传统模型可能无法捕捉后者的动态。
成功地对金融不确定性进行建模可能会导致识别独特的投资机会并避免潜在的低迷。因此，金融行业持续寻找能够处理不确定性的工具和框架，不仅是为了防范潜在损失，而且是为了识别和利用那些由于缺乏清晰度和共识而可能导致超额回报的被低估资产领域。
无论在文献中还是在实践中，区分风险和不确定性都至关重要。众多研究，如Klibanoff、Marinacci和Mukerji（2005）、van de Kuilen和Wakker（2011）以及Abdellaoui等人（2021）的研究，已经引入了理论模型来研究风险和模糊厌恶。
本章旨在介绍模糊性。我们从第10.2节中模糊厌恶的重要概念开始。第10.3节介绍了五种主要的模糊性度量。随后的第10.4节和第10.5节详细探讨了其中两个度量，即℧（mho）度量和海林格距离。第10.6节讨论模糊性与市场崩盘之间的关系。第10.7节进行总结。
10.2 模糊厌恶
在复杂的风险偏好格局中，模糊厌恶的概念作为一个关键要素出现，突显了个体在面对不确定性时的决策倾向。这一现象通过一个涉及两个装有红球和蓝球的罐子的开创性实验——即埃尔斯伯格悖论——得到了说明。
考虑以下涉及两个罐子的实验，每个罐子总共装有100个红球和蓝球。两个罐子的区别在于：罐1中红球和蓝球的数量未知，而罐2中恰好有50个红球和50个蓝球。参与者首先被要求在以下两个选项之间做出选择：
- A1：从罐1中抽一个球。如果抽到红球，获得奖励；如果抽到蓝球，没有奖励。
- A2：从罐2中抽一个球。如果抽到红球，获得奖励；如果抽到蓝球，没有奖励。
这两个选项之间的唯一区别是抽球的罐子。在第二个实验中，参与者被要求在另外两个不同选项之间做出选择：
- B1：从罐1中抽一个球。如果抽到蓝球，获得奖励；如果抽到红球，没有奖励。
- B2：从罐2中抽一个球。如果抽到蓝球，获得奖励；如果抽到红球，没有奖励。
两个实验的区别在于获得奖励的球的颜色，从红色变为蓝色。面对这些实验，出现了一个令人惊讶的结果：在第一个实验中，更多的参与者选择了选项A2，而在第二个实验中，更多的参与者选择了选项B2。
第一个实验的结果表明，人们主观上认为罐1中红球的数量少于50个（即罐2中红球的数量）；相反，第二个实验的结果正好相反，人们认为罐1中蓝球的数量少于50个（即罐2中蓝球的数量）。这就是决策理论中著名的埃尔斯伯格悖论。
丹尼尔·埃尔斯伯格
丹尼尔·埃尔斯伯格于1931年4月7日出生在密歇根州底特律。他就读于密歇根州布卢姆菲尔德希尔斯的克朗布鲁克学校，之后获得奖学金进入哈佛大学。埃尔斯伯格于1952年以优异的成绩获得经济学学士学位。随后，他凭借伍德罗·威尔逊奖学金在剑桥大学学习了一年，然后回到哈佛攻读研究生。埃尔斯伯格于1962年在哈佛获得经济学博士学位。他的关于决策理论的博士论文题为《风险、模糊性与萨维奇公理》，正是在这项工作中，他对不确定性领域做出了重大贡献。
埃尔斯伯格的早期职业生涯以在美国海军陆战队服役为标志，之后他加入兰德公司担任战略分析师，专注于核武器和决策理论。他后来在国防部长罗伯特·麦克纳马拉手下在五角大楼工作，并参与了美国在越南战争中军事决策的研究。
埃尔斯伯格关于决策理论的博士论文对风险与不确定性做出了关键区分。在风险的世界里，结果是未知的，但受已知或可估计的概率分布支配。相比之下，不确定性指的是这些概率本身未知或不确定的情况。
埃尔斯伯格通过“埃尔斯伯格悖论”著名地说明了这种区别，该悖论涉及两个装有彩色球的罐子的场景。该悖论证明了人们对已知风险而非未知风险的偏好，突显了在决策中对模糊性和不确定性的厌恶。这项工作为现在行为经济学中所谓的“模糊厌恶”奠定了基础，并对理解不确定性下的决策具有重要意义。
埃尔斯伯格对历史最著名的贡献并非直接与他关于不确定性的研究相关，而是他在越南战争期间的行动。1971年，他向《纽约时报》和其他报纸泄露了五角大楼关于美国政府越南战争决策的绝密研究。《五角大楼文件》的发布导致公众对战争的看法发生了重大转变，并对美国公众与其政府之间的信任产生了持久影响。
丹尼尔·埃尔斯伯格对决策理论领域的贡献以及他在越南战争期间的行动留下了持久的遗产。他关于不确定性和风险本质的工作不仅影响了经济学，还影响了军事战略、心理学和政治学。
值得注意的是，尽管两个实验场景中的奖励结构相同，但大多数参与者都表现出倾向于从已知比例的罐子中抽球。这种倾向突显了人性的一个基本方面：对模糊性的厌恶。当面对结果分布已知的决策时，个体能够评估所涉及的风险。相反，当结果分布未知时，个体无法准确评估风险，因为不确定性是不可量化的。
这种对模糊性的厌恶不仅仅是一种孤立的行为怪癖，而是与其他认知偏差（如过度自信和确认偏差）交织在一起，常常导致个体在自己认为熟悉的领域中表现更差。模糊厌恶与前景理论（参见第8章行为金融学）之间的相互作用构成了风险偏好偏差的基石，为理解个体如何在风险下做出决策提供了细致的理解。
借鉴埃尔斯伯格1961年的开创性工作，近几十年来对模糊性的研究沿着两个主要轨迹发展。最初，发展集中在制定扩展传统预期效用框架以涵盖模糊性的效用最大化偏好模型。其中值得注意的是：最大最小期望效用（Gilboa and Schmeidler 1989）、α-最大最小期望效用（Ghirardato, Maccheroni, and Marinacci 2004, Maccheroni, Marinacci, and Rustichini 2006）、鲁棒控制和乘子效用（Hansen and Sargent 2001）、Choquet期望效用（Gilboa 1987, Schmeidler 1989）、广义前景理论（Tversky and Kahneman 1992, Wakker 2010）、平滑模糊模型（Klibanoff, Marinacci, and Mukerji 2005）以及向量期望效用（Siniscalchi 2009）。
拉斯·彼得·汉森
拉斯·彼得·汉森是美国经济学家，生于1952年10月26日。他以在计量经济学领域的贡献以及对我们理解经济决策中模糊性的贡献而闻名。汉森的工作帮助经济学家和金融专业人士理解在面对不确定结果时如何做出决策。
拉斯·汉森于1974年在犹他州立大学获得数学和政治学学士学位。随后他在明尼苏达大学攻读经济学研究生，并于1978年获得博士学位。他的博士论文是关于“非线性理性预期模型的广义工具变量估计”。
汉森的大部分学术生涯在芝加哥大学度过，他是该校经济学、统计学和布斯商学院的大卫·洛克菲勒杰出服务教授。他的研究聚焦于经济和统计理论，并使他开发了用于建模和测量经济动态的计量经济学方法。
汉森对理解经济学中模糊性的贡献与他关于不确定下经济和金融模型的工作有关。他以发展“广义矩法”而闻名，这是一种允许研究人员估计经济模型参数的统计方法。GMM灵活且稳健，在处理复杂经济模型时尤其有用。为表彰他的工作，拉斯·汉森于2013年被授予瑞典中央银行纪念阿尔弗雷德·诺贝尔经济学奖，与尤金·F·法玛和罗伯特·J·希勒共享。诺贝尔委员会认可汉森对“资产价格的实证分析”，包括他在理解面对不确定性的资产长期平均回报方面的工作以及他对计量经济学领域的贡献。
汉森对模糊性或“模型不确定性”主题的重要贡献之一是他关于“鲁棒控制”或“鲁棒性”的工作。认识到用于经济决策的模型是对现实的简化，因此固有缺陷，汉森开发了将这些不完美纳入考量的方法。他引入了决策者可以用来考虑模型误设并做出对正确模型不确定性不敏感决策的技术。
拉斯·汉森关于经济模型中鲁棒性和处理不确定性的工作对宏观经济学和金融学领域产生了深远影响。他处理结果概率不明确的模糊情境的方法影响了学术研究和实际金融建模。通过承认经济模型的局限性并开发管理这些局限性的工具，汉森为更具弹性的经济预测和政策制定铺平了道路。
在第二个研究流中，基于模糊性的偏好模型被用于解释各种情境中观察到的决策行为，包括金融市场的参与（Cao, Wang, and Zhang 2005）、金融投资组合选择（Uppal and Wang 2003, Maenhout 2004, Garlappi, Uppal, and Wang 2007, Dimmock et al. 2016）以及市场监管（Easley and O’Hara 2009）。这些应用虽然意义重大，但依赖于需要不同解释和实施的特定假设。为了深入理解，鼓励感兴趣的读者查阅原始出版物。
随着人工智能的出现和进步，以及数据驱动决策的日益应用，量化研究人员逐渐采用各种算法从实证数据中获取见解。这种努力需要对数据分布变化所引起的问题给予更多关注。归纳算法应用中一个常见但关键未经检验的假设是，数据生成过程保持不变，这对于确保基于历史数据训练的模型对未来预测可靠至关重要。然而，这个假设在金融市场中常常失效。
阿尔伯特·爱因斯坦曾对数学与现实有过论述：“就数学定律涉及现实而言，它们是不确定的；就它们是确定的而言，它们不涉及现实。”这概括了通过精巧的数学公式量化金融市场复杂动态的挑战。对金融市场特征的准确描述必须考虑概率分布的潜在变异性。过度依赖从这些模型得出的精确答案可能在市场潜在不确定性时期导致显著亏损，正如长期资本管理公司的倒闭所例证的那样。因此，审慎应用归纳原理是必要的，重点是分析和减轻数据变异性的潜在不利影响。
长期资本管理公司
长期资本管理公司（LTCM）是一家著名的美国对冲基金，由所罗门兄弟公司的前明星交易员约翰·W·梅里韦瑟于1994年创立。它的恶名源于其在1998年的戏剧性失败，这成为了风险管理和金融不确定性危险的一个重要案例研究。
该基金以其使用复杂的数学模型设计来识别和利用固定收益套利机会而著称。其合伙人中包括诺贝尔奖得主迈伦·斯科尔斯和罗伯特·C·默顿，他们以对布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价模型的贡献而闻名。
最初，LTCM取得了非凡的回报，但该基金的策略严重依赖杠杆，使用借来的资金放大其投资能力。LTCM策略的基本假设是债券收益率利差会回归均值，这一假设在市场环境发生剧烈变化之前似乎是合理的。
1997年的亚洲金融危机和1998年俄罗斯债务违约等事件导致了高度波动且偏离历史常态的市场条件。这些代表尾部事件的条件没有被LTCM的模型充分预料到，这些模型也未能充分纳入金融市场固有的模糊性——例如压力下市场参与者反应不可预测的性质以及金融工具之间相关性可能崩溃。
该基金对如此极端但理解甚少的风险的暴露导致了它的失败。随着基金的高杠杆将损失转化为资本的快速流失，LTCM的股权在数月内从超过20亿美元暴跌至仅一小部分。到1998年9月，该基金已损失46亿美元，并因其与多家主要金融机构的纠葛而濒临引发更广泛的金融不稳定。
为了避免潜在的 systemic 金融危机，美联储进行了干预，组织了一个由银行和证券公司组成的财团提供了36亿美元的救助。LTCM的崩溃突显了对超越传统建模的更复杂风险管理的迫切需求，认识到预测模型在市场模糊性和灾难性尾部事件面前的局限性。它还导致了对对冲基金的监管审查加强，并在金融行业实施了更 robust 的风险管理和监管实践。
在金融市场领域，模糊性源于各种来源，包括信息不对称、宏观经济不确定性、地缘政治事件、市场情绪和行为偏差。因此，模糊性不仅是一个未被充分探索的因子，也可能代表一个重要的、尚未开发的、在现有因子文献中未被承认的风险来源。将模糊性纳入风险预测可以更全面地考虑过去的黑天鹅事件，可能避免巨大的投资者损失。这一领域值得进一步研究。
10.3 模糊性的度量
尽管承认模糊性的重要性至关重要，但如何度量模糊性仍不清晰。先前的研究，特别是在信息系统和运营管理领域，主要通过理论模型或问卷来探讨模糊性。本节回顾了提出的度量标准，这些标准可作为量化模糊性或评估观测分布与参考分布之间偏差的潜在代理。这些度量包括分析师预测的离散程度、CBOE VIX、℧（mho）、相对熵和海林格距离。
10.3.1 分析师预测的离散程度
分析师预测的离散程度是评估金融分析师对未来收益或股票表现的预期范围和分歧的关键度量。这个概念源于这样的理解：虽然分析师可能对收益波动性有相当多的洞察，但他们关于平均收益的知识往往更为有限。Anderson、Ghysels和Juergens（2009）通过引入一种利用专业金融分析师之间分歧的模糊性度量来强调这一点。通过分析从《专业预测者调查》中收集的预测方差，该度量提供了关于平均收益不确定性水平的指示。分析师之间的共识通常意味着较低的不确定性，而他们预测中的显著分歧则指向对未来收益的更高模糊性水平。
这种离散度量不仅概括了分析师对市场模糊性的主观观点，也包含了市场本身存在的客观模糊性。然而，该度量的一个显著挑战是其可能将模糊性与风险混为一谈，特别是因为预测的离散程度常常与股票价格波动性显示出强相关性。这种重叠使得将模糊性与风险明确分开有些困难。尽管存在这些挑战，分析师预测的离散程度仍然是理解和量化金融分析师对未来市场结果所持有的模糊性水平的有价值工具。
10.3.2 CBOE VIX
芝加哥期权交易所波动性指数，更广为人知的名字是VIX，是市场情绪的一个 prominent 晴雨表，常被称为“恐慌指数”，因为它通过标普500指数期权的预期波动性反映投资者的焦虑。其波动提供了对市场波动性预测的洞察，上升的值表明担忧加剧和市场波动性可能上升，而下降的值则表明市场前景更平静。尽管它在波动市场条件下尤其被广泛认可和使用，但将VIX直接用作模糊性度量仍涉及某些复杂性。
Williams（2015）支持使用VIX作为模糊性度量，强调其反映市场恐慌。然而，正如Miao、Wei和Zhou（2019）所证实的，VIX涵盖广泛，同时捕捉风险和模糊性元素，这给将模糊性作为独立因子隔离出来带来了挑战。该指数的理论框架没有建立与分布不确定性的直接联系，这使问题进一步复杂化。这些复杂性表明，虽然VIX是衡量市场对近期波动性预期和投资者情绪的有价值工具，但其作为精确模糊性度量的作用需要谨慎考虑，特别是考虑到它同时包含了风险和不确定性。
10.3.3 ℧（mho）度量
由Brenner和Izhakian（2018）构想的℧度量，代表了一种量化金融市场内模糊性的新颖方法，特别关注金融资产收益的分布。该度量深深植根于优先考虑概率及其均值保持扩展作用的决策模型，直接将模糊性概念与这些概率框架联系起来。℧的本质在于它能够概括与金融资产收益分布相关的不确定性，提供一个捕捉预期概率和收益方差的可量化度量。
℧应用的核心是复合概率模型，它为实证分析提供了一个稳健的框架，正如Augustin和Izhakian（2020）以及Izhakian、Yermack和Zender（2022）的后续研究所进一步探讨的。该模型的复杂性和深度允许对金融决策中的模糊性进行细致理解。然而，该度量的实际实施并非没有挑战。该度量依赖于分布的分布，需要获取高频交易数据，这对所有市场参与者来说可能不易获得。这可能在利用℧进行有效决策时构成重大障碍，特别是在处理金融市场复杂的 uncertainties 时。
10.3.4 相对熵
相对熵，通常称为Kullback-Leibler散度，是信息论中的一个关键度量，提供了量化两个概率分布之间差异的稳健手段。
KL散度是属于“f-散度”或“Csiszár散度”距离族的一员。f-散度是一类量化两个概率分布之间差异的函数。它们以满足某些数学性质的方式用于衡量分布之间的“距离”。
f-散度的一般形式（对于连续分布）由下式给出： [ D_f(P_1, P_2) = \int f_2(x) f\left( \frac{f_1(x)}{f_2(x)} \right) dx \quad (10.1) ] 其中 (P_1) 和 (P_2) 是密度为 (f_1(x)) 和 (f_2(x)) 的两个概率分布，且 (f) 是一个凸函数且 (f(1)=0)。该度量有助于评估替代模型相对于给定参考模型的偏差程度，从而提供对各种系统固有不确定性或不可预测性水平的洞察。
两个分布 (P_1) 和 (P_2) 之间的相对熵（KL散度）定义如下（对于连续分布）： [ D_{KL}(P_2 | P_1) = \int p_2(x) \log\left( \frac{p_2(x)}{p_1(x)} \right) dx \quad (10.2) ]
相对熵的本质在于它能够衡量两个分布之间的信息差异，本质上捕捉一个分布如何偏离另一个分布。这在理解模型偏差的细微差别至关重要的情境中非常关键，例如在评估金融中预测模型的可靠性时，预测的准确性会显著影响决策过程。然而，相对熵的应用并非没有限制。一个显著的局限性出现在处理具有不同零概率集合的概率分布时，这种情况在分析极端市场变动或评估尾部风险时经常遇到。这些情境需要仔细考虑，因为相对熵的基本要求要求被比较分布的零概率集合一致，这可能限制其完全捕捉罕见但有影响事件动态的效果。此外，KL散度的非度量性质（Gibbs and Su 2002），表现为其不对称性和不满足三角不等式，使得推导一致的模糊性度量复杂化。
10.3.5 海林格距离
本书的两位作者Tao Lu和Michael Zhang与他们的合著者一起，提议使用海林格距离作为衡量两个概率分布之间差异的工具，作为量化模糊性的一种细致方法，特别是在金融市场领域（Lu et al., forthcoming）。该想法的实用性源于其计算简单性和提供归一化数值的能力。HD擅长捕捉分布变化的能力使其成为预测市场动态和在面对模糊性时洞察投资者行为的宝贵工具。
HD被采纳为首选模糊性度量的核心在于它满意地满足的几个关键标准。这些标准包括易于计算，不需要真实模型的详尽细节，这在概率分布的完整信息可能不易获得的情况下尤其有利。此外，HD表现出基本的度量性质，如对称性和满足三角不等式，确保无论选择哪个参考分布，都能一致地测量分布之间的距离。HD的归一化特性通过允许在不同模糊性水平下进行比较分析，进一步增强了其实用性。HD还因其与传统的 uncertainty 度量（如波动性和熵）的整合而受到推荐，旨在提高数据分析框架的精度和效能。
10.4 模糊性作为概率中的不确定性
在本节中，我们进一步深入探讨Brenner和Izhakian（2018）引入的℧度量在量化模糊性中的作用。该文章强调，模糊性被定价，通过假设股票溢价包含两个不同的元素：风险溢价和模糊性溢价。为了理解模糊性溢价的概念，用他们的话说，重温传统的风险溢价概念是有帮助的，风险溢价可以被视为投资者愿意支付以用风险资产交换具有相同预期结果的无风险资产的溢价。类比地，模糊性溢价可以被视为投资者愿意支付以用既有风险又模糊的资产交换仅具有风险（无模糊性）但具有相同预期结果和相同风险的资产的溢价。
模糊性溢价是投资者对模糊性态度的函数，并且独立于其对风险的态度。该工作开发了一种从市场数据中测量模糊性程度的实证方法。具体来说，模糊性程度被公式化为： [ \Omega^2(r) = \int E[\phi(r)] \text{var}[\phi(r)] dr \quad (10.3) ] 其中 (\phi(\cdot)) 是概率密度函数，(E[\phi(r)]) 是给定回报率 (r) 的预期概率，(\text{var}[\phi(r)]) 是 (r) 的概率的方差。正如作者所解释的，℧度量的直觉是：正如风险程度可以用收益的波动性来衡量一样，模糊性程度也可以用收益概率的波动性来衡量。
此时，用一个例子（借自Brenner and Izhakian 2018）来阐明℧度量可能是有益的。想象一个资产，其未来收益可能是-10%或20%，每种概率为50%。因此，该资产的预期收益为5%，其风险（以标准差衡量）为15%。由于收益分布已知，该情境中没有模糊性，即 (\Omega = 0)。现在，假设收益仍然具有相同的两个可能结果，但其分布可能是两种可能性之一：（1）P(-10%)=0.4 且 P(20%)=0.6；或（2）P(-10%)=0.6 且 P(20%)=0.4，且两种分布的可能性相等。在这种情境下，投资者面临的不仅是风险，还有不确定性。根据℧的定义，模糊性水平为： [ \Omega = \sqrt{ \sum_i \left( E[P(i)] \cdot \text{var}[P(i)] \right) } = \sqrt{ 2 \times 0.5 \times \left( 0.5 \times (0.4-0.5)^2 + 0.5 \times (0.6-0.5)^2 \right) } = 0.1 \quad (10.4) ]
回到金融市场，使用历史回报，(\Omega^2[r]) 可以以离散形式实现。为了计算滚动的月度模糊性程度，我们可以将每日回报的范围从左边界 (r_L) 划分到右边界 (r_R)。该范围被分成 (n) 个宽度为 (w) 的区间。日内回报可以用柱宽为 (w) 的直方图形式表示。然后，模糊性程度可以测量为： [ \Omega^2[r] = \frac{1}{w(1-w)} \left( E[\Phi(r_L; \mu, \sigma)] \text{var}[\Phi(r_L; \mu, \sigma)] + \sum_{i=1}^{n} E[\Phi(r_i; \mu, \sigma) - \Phi(r_{i-1}; \mu, \sigma)] \cdot \text{var}[\Phi(r_i; \mu, \sigma) - \Phi(r_{i-1}; \mu, \sigma)] + E[1 - \Phi(r_R; \mu, \sigma)] \text{var}[1 - \Phi(r_R; \mu, \sigma)] \right) \quad (10.5) ]
Brenner和Izhakian（2018）的实证发现表明，模糊性显著影响股票市场回报，表明投资者在定价金融资产时会考虑模糊性程度。该研究揭示，投资者对有利回报表现出模糊性厌恶，而对不利回报表现出模糊性偏好。此外，研究表明，模糊性厌恶随着有利结果可能性的增加而增加，而模糊性偏好随着不利结果可能性的增加而增加。将模糊性与风险一起引入模型，表明预期市场波动性对预期回报具有积极且显著的影响，支持了经典的理论风险-回报关系。
10.5 模糊性作为与正态性的距离
本节旨在更深入地讨论海林格距离（Hellinger 1909）。HD也是f-散度族的一员。它具体是通过选择函数 (f(t) = (\sqrt{t} - 1)^2) 从f-散度推导出来的。
Lu等人（即将出版）提议使用HD作为模糊性的度量。由于模糊性衡量分布中的不确定性，它可以在某种程度上被描述为与标准参考“有多远”。明显的参考选择是正态分布，这在金融中通常用于建模对数收益，而HD是衡量两个概率分布之间距离的常用度量。HD可以计算为： [ H^2(P_1, P_2) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \sqrt{f_1(x)} - \sqrt{f_2(x)} \right)^2 dx \quad (10.6) ]
Lu等人（即将出版）对每日标普500指数超额于一个月期国债利率的收益应用了ARMA(1,1)模型，基于残差计算HD。在公司层面，他们使用个股收益对Fama和French（1992）市场因子回归的残差来计算HD，并假设这些回归模型的残差服从正态分布。
图10.1显示了由HD量化的股市模糊性的时间序列图。该图包含了相关变量，包括SPRET（代表标普500指数在月份 (t) 的日度收益均值）、SPVOL（代表标普500指数在月份 (t) 的日度收益标准差）以及VXO（代表标普100指数期权合约的隐含波动率）。
图的上半部分有一条水平虚线，表示HD的临界值（对应于 (p = 0.01)）。从左侧开始向右侧的垂直虚线标记了市场崩盘：1987年10月的黑色星期一、1998年8月的俄罗斯危机、2007年10月的次贷危机、2008年9月的雷曼兄弟倒闭、2011年8月的美国主权信用降级、2014年12月的俄罗斯金融危机、2018年2月的市场危机以及2020年2月的COVID-19大流行。
图10.1显示，在超过一半的时间里，经验分布与参考分布相同的原假设在1%的水平上无法被拒绝，因为HD值始终保持在临界值以下。这意味着收益残差的经验分布与正态分布非常接近。然而，需要注意的是，存在一些时期原假设可以被拒绝，表明偏离了正态性。
分析强调了HD、VIX、SPVOL和SPRET与市场崩盘之间的关系。HD在每次市场崩盘前都会经历明显的下降，穿过 (p=0.01) 线。这种下降伴随着VIX和SPVOL的上升，同时在崩盘期间HD急剧上升。这种模式表明，利用伴随着VIX飙升的两个HD峰值作为市场崩盘的领先指标可能是一个机会，这是下一节的主题。
10.6 模糊性与崩盘风险
现有研究表明，利用模糊性度量可以为市场崩盘提供有价值的早期预警。这在Lu等人（即将出版）的研究中得到了探讨，他们构建了公司层面的HD度量，并研究了其与金融崩盘发生之间的关系。他们首先考虑了Chen、Hong和Stein（2001）提出的负偏度系数（NCSKEW）指标，并使用预测性回归分析了时期 (t) 的HD度量与时期 (t+1) 崩盘之间的关系。
Chen、Hong和Stein（2001）认为，公司管理者对信息披露的时机和内容拥有自由裁量权，常常延迟负面消息，同时及时发布正面信息。这种选择性披露导致收益分布呈现正偏态。具有较高模糊性或 opacity 的公司可能更多地参与此类披露实践，增强了正偏态效应，并导致较低的NCSKEW值。因此，预期模糊性度量将与股票崩盘（NCSKEW）负相关，HD的回归系数预计为负。
实证上，使用1983年至2020年的数据，Lu等人（即将出版）证实了这些假设。在没有控制变量的情况下，HD的回归系数为-2.49，t统计量为-25.83；在加入控制变量后，调整至-1.33，t统计量为-12.77，两者均显著为负，从而验证了上述假设。除了NCSKEW，该论文还采用了Chen、Hong和Stein（2001）的另一个指标——下行-上行波动性（DUVOL）作为金融崩盘的代理变量，得出了相似的预测回归结果。无论是否考虑控制变量，HD的回归系数都保持显著为负，强化了HD在预示潜在市场崩盘方面的预测能力。
10.7 结论
模糊性不同于对风险的传统理解（其中结果及其概率被明确定义），它代表了概率分布本身固有的不确定性，而非结果的不确定性。这个概念并不构成一个独立的因子类别，而是作为支撑投资者行为的基础理论，表明模糊性和风险在决策过程中交织在一起。将模糊性纳入因子投资框架允许对各种因子进行更细致的应用，其中关于潜在分布的严格假设可以放松。这种方法不仅提供了更灵活的因子应用，而且通过容纳更广泛的分布假设，增强了风险模型的现实性。虽然这种纳入必然引入复杂性，但它有可能为通常被称为黑天鹅事件的极端市场事件提供更全面的解释，甚至进行预测。
将模糊性纳入金融模型的挑战在于其度量，因为没有普遍接受的量化分布不确定性的度量标准。我们的讨论介绍了五种流行的模糊性度量，特别关注了探讨概率周围不确定性的℧度量，以及评估两个概率分布之间分歧的海林格距离度量。这些度为理解模糊性并将其纳入金融分析和投资策略开辟了新途径。
作为一个新兴的研究领域，对金融中模糊性的探索为未来的研究提供了肥沃的土壤，特别是关于其与因子投资的整合。未来的研究可以超越本文讨论的度量，发现能够捕捉模糊性的额外度量。此外，一个有趣的研究途径涉及在模糊性的视角下重新评估传统因子，调整它们的分布假设以考虑这一额外的不确定性层。这样的努力可能会产生更准确反映金融市场复杂性和动态的见解，从而提高因子投资实践的有效性。
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