Skip to main content

New Page

我们针对问题建立混合整数非线性规划（MINLP）模型，以最小化总运输费用。模型中统一使用毫米、千克、人民币为单位，必要时转换至厘米。

1. 集合与索引

  • 产品单一，总件数 $ Q = 550 $，单件重 ( w_{\text{prod}} = 0.48 ) kg，尺寸 ( (d_1,d_2,d_3) = (123,294,63) ) mm，体积 ( V_{\text{prod}} = d_1 d_2 d_3 ) mm³。
  • 允许的箱内产品摆放姿态 ( r \in \mathcal{R} = {1,2,3} )，对应底面分别为 ( (d_1,d_2),;(d_1,d_3),;(d_2,d_3) )，高度为剩余边。即： [ (l_r,w_r,h_r) = \begin{cases} (d_1,d_2,d_3), & r=1\ (d_1,d_3,d_2), & r=2\ (d_2,d_3,d_1), & r=3 \end{cases} ]
  • 标准纸箱集合 ( \mathcal{S} = {s_1,s_2,s_3} )，其中每个 ( s ) 有固定外尺寸 ( (L_s^0,W_s^0,H_s^0) ) 及底面约束（若有）。下标 ( s_3 ) 强制以 ( L_{s_3}^0,W_{s_3}^0 ) 为底面。
  • 纸箱设计方案索引 ( j \in \mathcal{J} = {1,\dots,J_{\max}} )，( J_{\max} ) 为允许的最大不同纸箱规格数量（可取自变量上界）。

2. 参数

产品

  • ( w_{\text{prod}} = 0.48 ) kg
  • ( d_1,d_2,d_3 ) 及 ( V_{\text{prod}} )
  • ( Q = 550 )

纸箱

  • 壁厚 ( t = 5 ) mm
  • 纸板面积密度 ( \rho = 0.6 ) kg/m² ( = 6\times 10^{-7} ) kg/mm²
  • 单箱毛重上限 ( W_{\text{box_max}} = 25 ) kg
  • 硬尺寸上限：( L_{\max}=1200 ) mm，周长和上限 ( S_{\max}=3000 ) mm
  • 定制箱允许标记 ( \text{custom_allowed} \in {0,1} )，若不允许则 ( =0 )；额外费用 ( c_{\text{custom}} )
  • 定制箱界限：最小边长 ( s_{\min}=10 )，最大边长 ( s_{\max}=1200 )，最大和 ( S_{\text{cust_max}}=3000 )
  • 标准箱 ( s ) 的固定外尺寸 ( (L_s^0,W_s^0,H_s^0) )，皮重覆盖值 ( T_s^0 )（若为 null 则按面积估算），底面强制规则。

托盘

  • 尺寸 ( L_{\text{pal}} = 1200,; W_{\text{pal}} = 800 ) mm，厚 ( H_{\text{pal}} = 144 ) mm，自重 ( w_{\text{pal}} = 18 ) kg
  • 最大堆叠总高 ( H_{\text{stack_max}} = 1500 ) mm（含托盘），即纸箱堆高 ( \le 1356 ) mm
  • 不允许超出边缘。

计费

  • 体积除数 ( D = 6000 ) （单位：cm³/kg）
  • 最低计费重 ( W_{\min} = 300 ) kg
  • 单价 ( c_{\text{kg}} ) 元/kg
  • 托盘超长附加费：每托盘必触发（120 cm > 100 cm），费用 ( c_{\text{oversize}} )（国际155/国内95）
  • 纸箱超规附加费（若允许违规）：每违规箱 ( c_{\text{carton_over}} )

3. 决策变量

对于每种设计 ( j \in \mathcal{J} )：

存在与数量

  • ( y_j \in {0,1} ) – 是否使用该设计
  • ( n_j \in \mathbb{Z}_{\ge 0} ) – 该种纸箱的数量

纸箱尺寸与类型

  • ( L_j, W_j, H_j \ge 0 ) – 外尺寸（mm）
  • ( \alpha_{j,s} \in {0,1} ) 对于 ( s\in\mathcal{S} ) – 是否为标准箱 ( s )

内部装载

  • ( \beta_{j,r} \in {0,1} ) 对于 ( r\in\mathcal{R} ) – 选择哪种姿态
  • ( a_j, b_j, c_j \in \mathbb{Z}_{\ge 1} ) – 沿箱内长、宽、高方向摆放产品件数
  • ( p_j \in \mathbb{Z}_{\ge 1} ) – 每箱产品数，满足 ( p_j = a_j b_j c_j )

打托布置（同种纸箱单独打托，不混合）

  • 纸箱在托盘上的竖向尺寸：( z_j ) – 由维度选择变量决定（见下）
  • 水平底面尺寸：( x_j, y_j ) – 由其余两边构成
  • 平面内旋转 ( \sigma_j \in {0,1} )（0: ( x_j ) 沿托盘长, ( y_j ) 沿托盘宽；1: 交换）
  • 满载层每层箱数：( A_j, B_j \in \mathbb{Z}_{\ge 1} )（沿托盘长、宽方向件数），每层箱数 ( K_j = A_j B_j )
  • 满载层数 ( Z_j \in \mathbb{Z}_{\ge 1} )
  • 满载托盘数 ( V_j^{\text{full}} \in \mathbb{Z}_{\ge 0} )
  • 部分托盘存在标记 ( \delta_j^{\text{part}} \in {0,1} )
  • 部分托盘参数：( A_j^{\text{part}}, B_j^{\text{part}}, Z_j^{\text{part}} ) 且 ( 1\le A_j^{\text{part}}\le A_j ), ( 1\le B_j^{\text{part}}\le B_j ), ( 1\le Z_j^{\text{part}}\le Z_j )，每层 ( K_j^{\text{part}} = A_j^{\text{part}} B_j^{\text{part}} )

其他

  • 违规标记 ( v_j \in {0,1} ) – 纸箱是否超出1200或总和≥3000（仅在允许违规时启用）

4. 辅助表达式（由变量导出）

内尺寸 [ l_j^{\text{in}} = L_j - 2t,\quad w_j^{\text{in}} = W_j - 2t,\quad h_j^{\text{in}} = H_j - 2t ]

纸箱皮重 若 ( \sum_s \alpha_{j,s}=1 ) 且标准箱 ( s ) 有指定皮重 ( T_s^0 )，则 ( T_j = T_s^0 )；否则 [ S_j^{\text{area}} = 2(L_j W_j + L_j H_j + W_j H_j) \quad (\text{mm}^2) ] [ T_j = S_j^{\text{area}} \times 10^{-6} \times \rho \quad (\text{kg}) ]

单箱毛重 [ G_j = p_j \cdot w_{\text{prod}} + T_j ]

纸箱尺寸违规条件（用于定义 ( v_j )） 违规成立若：( L_j > 1200 ) 或 ( W_j > 1200 ) 或 ( H_j > 1200 ) 或 ( L_j+W_j+H_j \ge 3000 )。

纸箱竖向选择与底面约束 引入辅助二元变量 ( \gamma_{j,1},\gamma_{j,2},\gamma_{j,3} ) 表示竖向分别为 ( L_j, W_j, H_j )： [ \gamma_{j,1}+\gamma_{j,2}+\gamma_{j,3} = y_j ] [ z_j = \gamma_{j,1}L_j + \gamma_{j,2}W_j + \gamma_{j,3}H_j ] 则底面两条边由剩下两者给出。对于标准箱 ( s_3 )（底面必须为 ( L^0_{s_3},W^0_{s_3} )），若 ( \alpha_{j,s_3}=1 ) 则必须 ( \gamma_{j,3}=1 )（即高度为 ( H^0_{s_3} )）。

水平底面尺寸及排列约束 设底面两边为 ( u_j, v_j )（由 ( \gamma ) 确定）。结合旋转变量 ( \sigma_j )，托盘上的长宽方向排列满足： [ \begin{aligned} &\text{if } \sigma_j=0: & A_j &\le \left\lfloor \frac{L_{\text{pal}}}{u_j} \right\rfloor, \quad B_j \le \left\lfloor \frac{W_{\text{pal}}}{v_j} \right\rfloor \ &\text{if } \sigma_j=1: & A_j &\le \left\lfloor \frac{L_{\text{pal}}}{v_j} \right\rfloor, \quad B_j \le \left\lfloor \frac{W_{\text{pal}}}{u_j} \right\rfloor \end{aligned} ] 可写为线性不等式： [ A_j,u_j \le L_{\text{pal}} + M(1-\text{...}) ] 具体借助大 ( M ) 法与 ( \gamma,\sigma ) 关联，此处省略详细线性化展开。

部分托盘约束类似，仅将 ( A,B ) 替换为 ( A^{\text{part}},B^{\text{part}} )。

托盘高度约束 [ Z_j z_j + H_{\text{pal}} \le H_{\text{stack_max}},\qquad Z_j^{\text{part}} z_j + H_{\text{pal}} \le H_{\text{stack_max}} ]

总纸箱数量匹配 [ n_j = V_j^{\text{full}} K_j Z_j + \delta_j^{\text{part}} K_j^{\text{part}} Z_j^{\text{part}} ] 若 ( y_j=0 ) 则所有相关变量为 0；若 ( y_j=1 ) 且 ( n_j>0 ) 则 ( V_j^{\text{full}}+\delta_j^{\text{part}} \ge 1 )。

托盘总数 [ V_{\text{total}} = \sum_{j} \left( V_j^{\text{full}} + \delta_j^{\text{part}} \right) ]

5. 约束

5.1 纸箱类型一致性

[ \sum_{s\in\mathcal{S}} \alpha_{j,s} \le y_j \quad \forall j ] [ \left.\begin{aligned} \alpha_{j,s}=1 \Rightarrow & L_j = L_s^0,; W_j = W_s^0,; H_j = H_s^0 \ & \text{并满足对应底面强制规则} \end{aligned}\right} \forall s ] 若 ( y_j=1 ) 且 ( \sum_s \alpha_{j,s}=0 )，则为定制箱（需 ( \text{custom_allowed}=1 )），且有： [ s_{\min} \le L_j,W_j,H_j \le s_{\max} ] [ L_j+W_j+H_j \le S_{\text{cust_max}} ]

5.2 内部产品装载

[ \sum_{r\in\mathcal{R}} \beta_{j,r} = y_j \quad \forall j ] [ p_j = a_j b_j c_j \quad \forall j ] 对每个 ( r ) ：若 ( \beta_{j,r}=1 )，则 [ a_j l_r \le l_j^{\text{in}},\quad b_j w_r \le w_j^{\text{in}},\quad c_j h_r \le h_j^{\text{in}} ]

5.3 重量限制

[ G_j \le 25 - \varepsilon \quad (\text{或 } G_j < 25) ]

5.4 空间闲置率（仅标准箱）

若 ( \sum_s \alpha_{j,s} = 1 )： [ \frac{l_j^{\text{in}} w_j^{\text{in}} h_j^{\text{in}} - p_j V_{\text{prod}}}{l_j^{\text{in}} w_j^{\text{in}} h_j^{\text{in}}} \le 0.15 ] 等价于 [ p_j V_{\text{prod}} \ge 0.85, l_j^{\text{in}} w_j^{\text{in}} h_j^{\text{in}} ]

5.5 产品总量覆盖

[ \sum_{j} n_j p_j = Q ]

5.6 纸箱硬尺寸限制与违规

若约束中 ( \text{allow_violation} = \text{false} )： [ L_j \le 1200,; W_j \le 1200,; H_j \le 1200,; L_j+W_j+H_j \le 3000 \quad \forall j ] 若 ( \text{allow_violation} = \text{true} )，则允许违背，并用 ( v_j ) 标记： [ v_j = \begin{cases} 1 & \text{若上述任一条件不成立}\ 0 & \text{否则} \end{cases} ] 可用线性约束建模。

5.7 打托完整性

所有纸箱必须完成打托，托数由上述等式确定，无遗漏。

6. 目标函数

总毛重 [ W_{\text{gross}} = \sum_{j} n_j G_j ;+; V_{\text{total}}, w_{\text{pal}} ]

总体积重量 先将各托盘高度转为厘米并求和： [ H_{\text{total_cm}} = \sum_{j} \left[ V_j^{\text{full}} \left(\frac{Z_j z_j}{10} + \frac{H_{\text{pal}}}{10}\right) + \delta_j^{\text{part}} \left(\frac{Z_j^{\text{part}} z_j}{10} + \frac{H_{\text{pal}}}{10}\right) \right] ] [ W_{\text{vol}} = \frac{120 \times 80 \times H_{\text{total_cm}}}{D} ]

计费重量 [ W_{\text{charge}} = \max\left{ W_{\text{gross}},; W_{\text{vol}},; W_{\min} \right} ]

各项费用 [ \begin{aligned} \text{运费} &= W_{\text{charge}} \times c_{\text{kg}} \ \text{超长附加费} &= c_{\text{oversize}} \times V_{\text{total}} \ \text{纸箱超规费} &= c_{\text{carton_over}} \times \sum_{j} n_j v_j \quad (\text{仅在 allow_violation=true 时}) \ \text{定制箱费} &= c_{\text{custom}} \times \sum_{j} \left[ n_j \cdot (y_j - \sum_{s}\alpha_{j,s}) \right] \end{aligned} ]

目标函数（总运费最小化） [ \min ; \left( W_{\text{charge}} \times c_{\text{kg}} + c_{\text{oversize}} V_{\text{total}} + c_{\text{carton_over}} \sum_j n_j v_j + c_{\text{custom}} \sum_j n_j (y_j - \sum_s \alpha_{j,s}) \right) ]

该模型完整描述了纸箱选择、装箱、打托及全部费用规则，在给定 config 和 constraints 参数下求解即可得全局最优方案。由于包含乘积形式的变量（如 ( p_j = a_j b_j c_j )、( K_j = A_j B_j ) 等），实际求解时可根据边界将整数变量范围限制到较小值，或借助约束规划/定制分支策略处理。

Back to top